4.7 Frekari notkun á lögmálum Newtons um hreyfingu

Frekari notkun á lögmálum Newtons um hreyfingu

Næmsmarkmið

Í lok þessa kafla muntu geta:

Beitt aðferðum til lausnar vandamála til að leysa fyrir stærðir í flóknari kraftakerfum.
Samþætt hugtök úr hreyfifræði til að leysa verkefni með lögmálum Newtons um hreyfingu.

Það eru mörg áhugaverð not fyrir lögmál Newtons um hreyfingu og nokkur þeirra eru kynnt í þessum kafla. Þau þjóna einnig þeim tilgangi að sýna fram á nokkur frekari blæbrigði eðlisfræðinnar og hjálpa til við að byggja upp færni í lausn vandamála.

Dæmi 4.7

Lausnarstefna

Gerum ráð fyrir að tveir dráttarbátar ýti á pramma með mismunandi hornum, eins og sýnt er á Mynd 4.39. Fyrri dráttarbáturinn beitir krafti sem er ${{{2,7{×{\text{10}}^{{5}}}\, \text{N}}}}$ í x-stefnu og seinni dráttarbáturinn beitir krafti sem er ${{{3,6{×{\text{10}}^{{5}}}\, \text{N}}}}$ í y-stefnu.

Ef massi prammans er ${{{{5,0×{\text{10}}^{{6}}}\, \text{kg}}}}$ og hröðun hans er ${{{7\text{.}{\text{5}×{\text{10}}^{{{−2}}}}\, {\text{m/s}}^{{2}}}}}$ í sýndri stefnu, hver er þá viðnámskraftur vatnsins á prammann sem vinnur gegn hreyfingunni? (Athugið: Viðnámskraftur er núningskraftur sem vökvar, svo sem loft eða vatn, beita. Viðnámskrafturinn vinnur gegn hreyfingu hlutarins.)

Strategy

Stefna og stærð hröðunar og beittu kraftanna eru gefnar í Mynd 4.39(a). Við skilgreinum heildarkraft dráttarbátanna á prammann sem ${{{\text{F}}_{{\text{app}}}}}$ þannig að:

${{{{\text{F}}_{{{\text{app}}}}\text{=} {{\text{F}}_{{x}}} + {{\text{F}}_{{y}}}}}}$

Þar sem pramminn er flatbotna verður viðnám vatnsins ${{{\text{F}}_{{\text{D}}}}}$ í gagnstæða stefnu við ${{{\text{F}}_{{\text{app}}}}}$ , eins og sýnt er á kraftamyndinni í Mynd 4.39(b). Kerfið sem við skoðum hér er pramminn, þar sem kraftarnir á hann eru gefnir ásamt hröðun hans. Lausnarstefna okkar er að finna stærð og stefnu heildarkraftsins ${{{\text{F}}_{{\text{app}}}}}$ og nota síðan annað lögmál Newtons til að leysa fyrir viðnámskraftinn ${{{\text{F}}_{{\text{D}}}}}$ .

Lausn

Þar sem ${{{\text{F}}_{{x}}}}$ og ${{{\text{F}}_{{y}}}}$ eru hornréttir er auðvelt að finna stærð og stefnu ${{{\text{F}}_{{\text{app}}}}}$ . Í fyrsta lagi er heildarstærðin gefin með reglu Pýþagórasar:

${{\begin{aligned} {F}_{\text{app}} & = & {\sqrt{{\text{F}}_{x}^{2} + {\text{F}}_{y}^{2}}} \\ {{F}_{\text{app}}} & = & \sqrt{( 2,7 {× {\text{10}}^{5}}\, \text{N} {{)}^{{2}} + (} 3,6 {× {\text{10}}^{5}}\, \text{N} {)}^{{2}}} & = & {4,5 × {\text{10}}^{5}}\, \text{N.} \end{aligned}}}$

Hornið er gefið með

${{\begin{aligned} θ & = & {\text{tan}}^{{{− 1}}} \frac{{F}_{{y}}}{{F}_{{x}}} \\ θ & = & {\text{tan}}^{{{− 1}}} {\frac{{3,6 {× {\text{10}}^{{5}}}\, \text{N}}}{{2,7 {× {\text{10}}^{{5}}}\, \text{N}}} = \text{53º}} , \end{aligned}}}$

sem við vitum, vegna fyrsta lögmáls Newtons, að er í sömu stefnu og hröðunin. ${{{\text{F}}_{{\text{D}}}}}$ er í gagnstæðri stefnu við ${{{\text{F}}_{{\text{app}}}}}$ , þar sem hann vinnur að því að hægja á hröðuninni. Þess vegna er heildarytri krafturinn í sömu stefnu og ${{{\text{F}}_{{\text{app}}}}}$ , en stærð hans er örlítið minni en ${{{\text{F}}_{{\text{app}}}}}$ . Vandamálið er nú einvítt. Frá Mynd 4.39(b) getum við séð að

${{{{F}_{{\text{net}}}={{F}_{{\text{app}}}−{F}_{{\text{D}}}}}}}.$

En annað lögmál Newtons segir að

${{{{F}_{{\text{net}}}={\text{ma}}}}}.$

Þannig,

${{{{{F}_{{\text{app}}}−{F}_{{\text{D}}}}={\text{ma}}}}}.$

Þetta er hægt að leysa fyrir stærð viðnámskrafts vatnsins ${{{F}_{{\text{D}}}}}$ með tilliti til þekktra stærða:

${{{{F}_{{\text{D}}}={{F}_{{\text{app}}}−{\text{ma}}}}}}.$

Með því að setja inn þekkt gildi fæst

${{{{{\text{F}}_{{\text{D}}}=(}4\text{.}{\text{5}×{\text{10}}^{{5}}}\, \text{N}{)−(}5\text{.}{\text{0}×{\text{10}}^{{6}}}\, \text{kg})(7\text{.}{\text{5}×{\text{10}}^{{\text{–2}}}}\, {\text{m/s}}^{{2}}{)=7}\text{.}{\text{5}×{\text{10}}^{{4}}}\, \text{N}}}}.$

Stefna ${{{\text{F}}_{{\text{D}}}}}$ hefur þegar verið ákvörðuð sem gagnstæð stefnu ${{{\text{F}}_{{\text{app}}}}}$ , eða með horninu ${{{\text{53º}}}}$ suður af vestri.

Umræða

Tölurnar sem notaðar eru í þessu dæmi eru raunhæfar fyrir meðalstóran pramma. Það er vissulega erfitt að ná meiri hröðun með dráttarbátum og lítill hraði er æskilegur til að forðast að sigla prammanum á bryggjurnar. Viðnám er tiltölulega lítið fyrir vel hannaðan skrokk á lágum hraða, sem er í samræmi við svarið í þessu dæmi, þar sem ${{{F}_{{\text{D}}}}}$ er minna en 1/600 af þyngd skipsins.

(a) A view from above two tugboats pushing on a barge. One tugboat is pushing with the force F sub x equal to two point seven multiplied by ten to the power five newtons, shown by a vector arrow acting toward the right in the x direction. Another tugboat is pushing with a force F sub y equal to three point six multiplied by ten to the power five newtons acting upward in the positive y direction. Acceleration of the barge, a, is shown by a vector arrow directed fifty-three point one degree angle above the x axis. In the free-body diagram, F sub y is acting on a point upward, F sub x is acting toward the right, and F sub D is acting approximately southwest. (b) A right triangle is made by the vectors F sub x and F sub y. The base vector is shown by the force vector F sub x. and the perpendicular vector is shown by the force vector F sub y. The resultant is the hypotenuse of this triangle, making a fifty-three point one degree angle from the base, shown by the vector force F sub net pointing up the inclination. A vector F sub D points down the incline. — Mynd 4.39 (a) Mynd af tveimur dráttarbátum að ýta á pramma, séð ofan frá. (b) Kraftamynd fyrir skipið inniheldur aðeins krafta sem verka í fleti vatnsins. Hún sleppir tveimur lóðréttum kröftum — þyngd prammans og uppdrifskrafti vatnsins sem styður við hann núllast út og eru ekki sýndir. Þar sem beittu kraftarnir eru hornréttir eru x- og y-ásarnir í sömu stefnu og ${{{\text{F}}_{{x}}}}$ og ${{{\text{F}}_{{y}}}}$ . Vandamálið verður fljótt að einvíðu vandamáli meðfram stefnu ${{{\text{F}}_{{\text{app}}}}}$ , þar sem núningur er í gagnstæðri stefnu við ${{{\text{F}}_{{\text{app}}}}}$ .

Í fyrra dæminu um línudansara tókum við eftir því að spennan í vírum sem héldu uppi massa var aðeins jöfn vegna þess að hornin á hvorri hlið voru jöfn. Lítum á eftirfarandi dæmi, þar sem hornin eru ekki jöfn; það krefst aðeins meiri hornafræði.

Dæmi 4.8

Lausnarstefna

Lítum á umferðarljósið (massi 15,0 kg) sem hangir í tveimur vírum eins og sýnt er á Mynd 4.40. Finndu spennuna í hvorum vír og hunsaðu massa víranna.

Strategy

Kerfið sem vekur áhuga er umferðarljósið og kraftarit þess er sýnt á Mynd 4.40(c). Þrír kraftar koma við sögu og þeir eru ekki samsíða, þannig að þeir verða að vera varpaðir á hnitakerfi. Þægilegasta hnitakerfið hefur einn ás lóðréttan og einn láréttan og vigursvörpunin á það er sýnd í hluta (d) á myndinni. Það eru tvær óþekktar stærðir í þessu dæmi ( ${{{T}_{{1}}}}$ og ${{{T}_{{2}}}}$ ), þannig að það þarf tvær jöfnur til að finna þær. Þessar tvær jöfnur fást með því að beita öðru lögmáli Newtons meðfram lóðrétta og lárétta ásnum, og hafa í huga að heildarytri krafturinn er núll meðfram hvorum ás þar sem hröðunin er núll.

Lausn

Lítum fyrst á lárétta eða x-ásinn:

${{{{{F}_{{\text{net}x}}={{T}_{{\text{2}x}}−{T}_{{\text{1}x}}}}=0}}}.$

Þannig, eins og þú gætir búist við,

${{{{T}_{{\text{1}x}}={T}_{{\text{2}x}}}}}.$

Þetta gefur okkur eftirfarandi samband milli ${{{T}_{{1}}}}$ og ${{{T}_{{2}}}}$ :

${{{{T}_{{1}}\, \text{cos}\, (\text{30º}{)={T}_{{2}}}\, \text{cos}\, (\text{45º})}}}.$

Þannig,

${{{{{T}_{{2}}=(}1\text{.}\text{225}){T}_{{1}}}}}.$

Athugaðu að ${{{T}_{{1}}}}$ og ${{{T}_{{2}}}}$ eru ekki jöfn í þessu tilfelli, þar sem hornin á hvorri hlið eru ekki jöfn. Það er eðlilegt að ${{{T}_{{2}}}}$ reynist vera stærri en ${{{T}_{{1}}}}$ , þar sem hann er beittur meira lóðrétt en ${{{T}_{{1}}}}$ .

Lítum nú á kraftþættina meðfram lóðrétta eða y-ásnum:

${{{{{F}_{{\text{net}\, y}}={{{T}_{{\text{1}y}}+{T}_{{\text{2}y}}}−w}}=0}}}.$

Þetta gefur í skyn

${{{{{T}_{{\text{1}y}}+{T}_{{\text{2}y}}}=w}}}.$

Með því að setja inn segðirnar fyrir lóðréttu þættina fæst

${{{{T}_{{1}}\, \text{sin}\, (\text{30º}{)+{T}_{{2}}}\, \text{sin}\, (\text{45º}{)=w}}}}.$

Það eru tvær óþekktar stærðir í þessari jöfnu, en með því að setja inn segðina fyrir ${{{T}_{{2}}}}$ í skilmálum ${{{T}_{{1}}}}$ er þetta einfaldað í eina jöfnu með einni óþekktri stærð:

${{{{T}_{{1}}(0\text{.}\text{500}{)+(}1\text{.}\text{225}{T}_{{1}})(0\text{.}\text{707}{{)=w}={\text{mg}}}}}},$

sem gefur

${{{{1\text{.}\text{366}}{{T}_{{1}}=(}\text{15}\text{.}\text{0 kg})(9\text{.}{\text{80 m/s}}^{{2}})}}}.$

Með því að leysa þessa síðustu jöfnu fæst stærðin á ${{{T}_{{1}}}}$ til að vera

${{{{{T}_{{1}}=\text{108 N}}}}}.$

Að lokum er stærðin á ${{{T}_{{2}}}}$ ákvörðuð með því að nota sambandið á milli þeirra, ${{{T}_{{2}}}}$ = 1,225 ${{{T}_{{1}}}}$ , sem fannst hér að ofan. Þannig fáum við

${{{{T}_{{2}} = \text{132 N}}}} .$

Umræða

Báðar spennurnar yrðu stærri ef báðir vírarnir væru láréttari, og þær verða jafnar ef og aðeins ef hornin á hvorri hlið eru þau sömu (eins og þau voru í fyrra dæminu um línudansarann).

A sketch of a traffic light suspended from two wires supported by two poles is shown. (b) Some forces are shown in this system. Tension T sub one pulling the top of the left-hand pole is shown by the vector arrow along the left wire from the top of the pole, and an equal but opposite tension T sub one is shown by the arrow pointing up along the left-hand wire where it is attached to the light; the wire makes a thirty-degree angle with the horizontal. Tension T sub two is shown by a vector arrow pointing downward from the top of the right-hand pole along the right-hand wire, and an equal but opposite tension T sub two is shown by the arrow pointing up along the right-hand wire, which makes a forty-five degree angle with the horizontal. The traffic light is suspended at the lower end of the wires, and its weight W is shown by a vector arrow acting downward. (c) The traffic light is the system of interest. Tension T sub one starting from the traffic light is shown by an arrow along the wire making an angle of thirty degrees with the horizontal. Tension T sub two starting from the traffic light is shown by an arrow along the wire making an angle of forty-five degrees with the horizontal. The weight W is shown by a vector arrow pointing downward from the traffic light. A free-body diagram is shown with three forces acting on a point. Weight W acts downward; T sub one and T sub two act at an angle with the vertical. (d) Forces are shown with their components T sub one y and T sub two y pointing vertically upward. T sub one x points along the negative x direction, T sub two x points along the positive x direction, and weight W points vertically downward. (e) Vertical forces and horizontal forces are shown separately. Vertical forces T sub one y and T sub two y are shown by vector arrows acting along a vertical line pointing upward, and weight W is shown by a vector arrow acting downward. The net vertical force is zero, so T sub one y plus T sub two y is equal to W. On the other hand, T sub two x is shown by an arrow pointing toward the right, and T sub one x is shown by an arrow pointing toward the left. The net horizontal force is zero, so T sub one x is equal to T sub two x. — Mynd 4.40 Umferðarljós hangir í tveimur vírum. (b) Sumir af þeim kröftum sem koma við sögu. (c) Aðeins kraftar sem verka á kerfið eru sýndir hér. Kraftarit fyrir umferðarljósið er einnig sýnt. (d) Kröftunum varpað á lóðrétta (y) og lárétta (x) ása. Láréttu þættir spennanna verða að núllast út og summa lóðréttu þátta spennanna verður að vera jöfn þyngd umferðarljóssins. (e) Kraftaritið sýnir lóðréttu og láréttu kraftana sem verka á umferðarljósið.

Baðvogin er frábært dæmi um þverkraft sem verkar á hlut. Hún gefur megindlegan mælikvarða á það hversu mikið hún þarf að þrýsta upp á við til að styðja við þyngd hlutar. En getur þú spáð fyrir um hvað þú myndir sjá á skífunni á baðvog ef þú stæðir á henni í lyftuferð? Muntu sjá gildi sem er hærra en þyngd þín þegar lyftan fer af stað upp? Hvað með þegar lyftan hreyfist upp á við með jöfnum hraða: mun vogin samt sýna meira en þyngd þína í kyrrstöðu? Lítum á eftirfarandi dæmi.

Dæmi 4.9

Leið

Mynd 4.41 sýnir 75,0 kg mann (þyngd um 165 pund) standandi á baðvog í lyftu. Reiknaðu mælingu vogarinnar: (a) ef lyftan hraðar sér upp á við með hröðun ${{{1\text{.}{\text{20 m/s}}^{{2}}}}}$ , og (b) ef lyftan hreyfist upp á við með jöfnum hraða 1 m/s.

Strategy

Ef vogin er nákvæm mun mæling hennar jafngilda ${{{F}_{{\text{p}}}}}$ , stærð kraftsins sem maðurinn beitir niður á hana. Mynd 4.41(a) sýnir hina fjölmörgu krafta sem verka á lyftuna, vogina og manninn. Það lætur þetta einvíða dæmi líta út fyrir að vera mun ógnvænlegra en ef maðurinn er valinn sem kerfið sem vekur áhuga og kraftarit er teiknað eins og í Mynd 4.41(b). Greining á kraftaritinu með lögmálum Newtons getur gefið svör við bæði (a) og (b) hluta þessa dæmis, auk nokkurra annarra spurninga sem gætu vaknað. Einu kraftarnir sem verka á manninn eru þyngd hans ${{\text{w}}}$ og uppkraftur vogarinnar ${{{\text{F}}_{{\text{s}}}}}$ . Samkvæmt þriðja lögmáli Newtons eru ${{{\text{F}}_{{\text{p}}}}}$ og ${{{\text{F}}_{{\text{s}}}}}$ jafnstórir og í gagnstæðar áttir, þannig að við þurfum að finna ${{{F}_{{\text{s}}}}}$ til að finna hvað vogin sýnir. Við getum gert þetta, eins og venjulega, með því að beita öðru lögmáli Newtons,

${{{{F}_{{\text{net}}}={\text{ma}}}}}.$

Af kraftamyndinni sjáum við að ${{{{F}_{{\text{net}}}={{F}_{{\text{s}}}−w}}}}$ , þannig að

${{{{{F}_{{\text{s}}}−w}={\text{ma}}}}}.$

Ef við leysum fyrir ${{{F}_{{\text{s}}}}}$ fáum við jöfnu með aðeins einni óþekktri stærð:

${{{{F}_{{\text{s}}}={{\text{ma}}+w}}}},$

eða, þar sem ${w=mg}$ , einfaldlega

${{{{F}_{{\text{s}}}={{\text{ma}}+{\text{mg}}}}}}.$

Engar forsendur voru gefnar um hröðunina og því ætti þessi lausn að gilda fyrir ýmsar hræðslur auk þeirra sem eru í þessari æfingu.

Lausn fyrir (a)

Í þessum hluta verkefnisins er ${{{a=1,20\, {\text{m/s}}^{{2}}}}}$ , þannig að

${{{{{F}_{{\text{s}}}=(}\text{75}\text{.}\text{0 kg})(1\text{.}{\text{20 m/s}}^{{2}}{)+(}\text{75}\text{.}\text{0 kg})(9\text{.}{\text{80 m/s}}^{{2}})}}},$

sem gefur

${{{{{F}_{{\text{s}}}=8}\text{25 N}}}}.$

Umræða fyrir (a)

Þetta eru um 185 pund. Hvað hefði vigtin sýnt ef hann hefði verið kyrrstæður? Þar sem hröðun hans væri núll, væri krafturinn frá vigtinni jafn þyngd hans:

${{\begin{aligned} {F}_{{\text{net}}} & = & {\text{ma}} = 0 = {{F}_{{\text{s}}} − w} \\ {F}_{{\text{s}}} & = & w = {\text{mg}} \\ {F}_{{\text{s}}} & = & ( \text{75,0 kg} ) ( 9. {\text{80 m/s}}^{{2}} ) \\ {F}_{{\text{s}}} & = & \text{735 N.} \end{aligned}}}$

Þannig að mæling vigtarinnar í lyftunni er meiri en 735 N (165 punda) þyngd hans. Þetta þýðir að vigtin þrýstir upp á manninn með krafti sem er meiri en þyngd hans, eins og hún verður að gera til að hraða honum upp á við. Augljóslega, því meiri sem hröðun lyftunnar er, því meiri er mæling vigtarinnar, sem er í samræmi við það sem þú finnur í lyftum sem hraða sér hratt á móti lyftum sem hraða sér hægt.

Lausn fyrir (b)

Hvað gerist nú þegar lyftan nær stöðugum hraða upp á við? Mun vigtin enn sýna meira en þyngd hans? Fyrir hvern stöðugan hraða — upp, niður eða kyrrstöðu — er hröðunin núll vegna þess að ${{{a=\frac{{Δv}}{{Δt}}}}}$ , og ${{{Δv=0}}}$ .

Þannig,

${{{{{F}_{{\text{s}}}={{\text{ma}}+{\text{mg}}}}={0+{\text{mg}}}}}}.$

Nú

${{{{{F}_{{\text{s}}}=(}\text{75}\text{.}\text{0 kg})(9\text{.}{\text{80 m/s}}^{{2}})}}},$

sem gefur

${{{{{F}_{{\text{s}}}=7}\text{35 N}}}}.$

Umræða fyrir (b)

Mæling vigtarinnar er 735 N, sem er jafnt þyngd mannsins. Þetta verður raunin hvenær sem lyftan hefur stöðugan hraða — hvort sem hún hreyfist upp, niður eða er kyrrstæð.

A person is standing on a bathroom scale in an elevator. His weight w is shown by an arrow pointing downward. F sub s is the force of the scale on the person, shown by a vector starting from his feet pointing vertically upward. W sub s is the weight of the scale pointing vertically downward. W sub e is the weight of the elevator, shown by the broken arrow pointing vertically downward. F sub p is the force of the person on the scale, acting vertically downward. F sub t is the force of the scale on the floor of the elevator, pointing vertically downward, and N is the normal force of the floor on the scale, pointing upward. (b) The same person is shown on the scale in the elevator, but only a few forces are shown acting on the person, which is our system of interest. W is shown by an arrow acting downward, and F sub s is the force of the scale on the person, shown by a vector starting from his feet pointing vertically upward. The free-body diagram is also shown, with two forces acting on a point. F sub s acts vertically upward, and w acts vertically downward. — Mynd 4.41 (a) Hinir ýmsu kraftar sem verka þegar maður stendur á baðherbergisvigt í lyftu. Örvarnar eru nokkurn veginn réttar fyrir þegar lyftan hefur hröðun upp á við — brotnar örvar tákna krafta sem eru of stórir til að vera teiknaðir í réttum skala. ${{{\text{T}}}}$ er krafturinn upp á við á lyftuna, ${{{\text{w}}_{{\text{s}}}}}$ er þyngd vigtarinnar, ${{{\text{w}}_{{\text{e}}}}}$ er þyngd lyftunnar, ${{{\text{F}}_{{\text{s}}}}}$ er kraftur vigtarinnar á manninn, ${{{\text{F}}_{{\text{p}}}}}$ er kraftur mannsins á vigtina, ${{{\text{F}}_{{\text{t}}}}}$ er kraftur vigtarinnar á gólf lyftunnar og ${{{\text{N}}}}$ er kraftur gólfsins upp á við á vigtina. (b) Kraftamyndin sýnir aðeins ytri krafta sem verka á hið skilgreinda kerfi sem er til skoðunar — manninn.

Lausnin á fyrra dæminu á einnig við um lyftu sem hefur hröðun niður á við, eins og nefnt var. Þegar lyfta hefur hröðun niður á við er ${{a}}$ neikvætt og mæling vigtarinnar er minni en þyngd mannsins, þar til stöðugum hraða niður á við er náð, en þá verður mæling vigtarinnar aftur jöfn þyngd mannsins. Ef lyftan er í frjálsu falli og hefur hröðun niður á við sem er ${{g}}$ , þá verður mæling vigtarinnar núll og maðurinn mun virðast vera þyngdarlaus.

Samþætting hugtaka: Hreyfilögmál Newtons og hreyfifræði

Eðlisfræði er áhugaverðust og áhrifamest þegar henni er beitt á almennar aðstæður sem fela í sér meira en þröngt sett af eðlisfræðilegum lögmálum. Hreyfilögmál Newtons er einnig hægt að samþætta við önnur hugtök sem áður hafa verið rædd í þessum texta til að leysa hreyfingarvandamál. Til dæmis valda kraftar hröðun, sem er efni hreyfifræðinnar, og því skipta fyrri kaflar máli. Þegar þú nálgast verkefni sem fela í sér ýmsar gerðir krafta, hröðun, hraða og/eða stöðu, skaltu nota eftirfarandi skref til að nálgast verkefnið:

Aðferðafræði við lausn vandamála

Skref 1. Greindu hvaða eðlisfræðilögmál eiga við. Með því að skrá upp gefnar stærðir og þær stærðir sem á að reikna út geturðu greint hvaða lögmál eiga við.
Skref 2. Leystu verkefnið með því að nota aðferðir sem lýst er í textanum. Ef þær eru tiltækar fyrir tiltekið efni ættirðu að vísa til þeirra. Þú ættir einnig að vísa til þeirra kafla textans sem fjalla um tiltekið efni. Eftirfarandi útreiknað dæmi sýnir hvernig þessum aðferðum er beitt á samþætt hugtakaverkefni.

Dæmi 4.10

Aðferð

Knattspyrnumaður byrjar kyrrstæður og flýtir sér fram á við og nær 8,00 m/s hraða á 2,50 s. (a) Hver var meðalhröðun hans? (b) Hve miklum meðalkrafti beitti hann aftur á bak á jörðina til að ná þessari hröðun? Massi leikmannsins er 70,0 kg og loftmótstaða er hverfandi.

Til að leysa samþætt hugmyndadæmi verðum við fyrst að bera kennsl á hvaða eðlisfræðilögmál eiga við og finna kaflana þar sem þau er að finna. Hluti (a) í þessu dæmi fjallar um hröðun eftir beinni línu. Þetta er efni úr hreyfifræði. Hluti (b) fjallar um kraft, sem er efni úr kraftafræði og er að finna í þessum kafla.

Eftirfarandi lausnir á hvorum hluta dæmisins sýna hvernig sértækar lausnaraðferðir eru notaðar. Þær fela í sér að bera kennsl á þekktar og óþekktar stærðir, athuga hvort svarið sé skynsamlegt og svo framvegis.

Lausn fyrir (a)

Okkur eru gefnir upphafshraði og lokahraði (núll og 8,00 m/s fram á við); þannig er hraðabreytingin ${{Δv=8,00 m/s}}$ . Okkur er gefinn liðinn tími, og því ${{{{Δt=2,50 s}}}}$ . Óþekkta stærðin er hröðun, sem má finna út frá skilgreiningu hennar:

${{{a=\frac{{Δv}}{{Δt}}}}}.$

Með því að setja inn þekktu gildin fæst

${{\begin{aligned} a & = & \frac{{8,00 m/s}}{{2 \text{.} 50 s}} \\ = & 3 \text{.} {\text{20 m/s}}^{{2}} . \end{aligned}}}$

Umræða fyrir (a)

Þetta er hröðun sem íþróttamaður í góðu formi getur náð.

Lausn fyrir (b)

Hér erum við beðin um að finna meðalkraftinn sem leikmaðurinn beitir aftur á bak til að ná þessari hröðun fram á við. Ef loftmótstaða er hverfandi, væri þessi kraftur jafn að stærð og heildarytri krafturinn á leikmanninn, þar sem þessi kraftur veldur hröðun hans. Þar sem við vitum nú hröðun leikmannsins og massi hans er gefinn, getum við notað annað lögmál Newtons til að finna kraftinn sem beitt er. Það er,

${{{{F}_{{\text{net}}}={\text{ma}}}}}.$

Með því að setja inn þekktu gildin ${{m}}$ og ${{a}}$ fæst

${{\begin{aligned} {F}_{{\text{net}}} & = & (\text{70,0 kg}) (3\text{.}{\text{20 m/s}}^{{2}}) \\ = & \text{224 N}. \end{aligned}}}$

Umræða fyrir (b)

Þetta eru um 50 pund, sem er skynsamlegur meðalkraftur.

Þetta útreiknaða dæmi sýnir hvernig beita má lausnaraðferðum á aðstæður sem fela í sér efni úr mismunandi köflum. Fyrsta skrefið er að bera kennsl á eðlisfræðilögmálin sem eiga við í dæminu. Annað skrefið er að leysa fyrir óþekktu stærðina með því að nota kunnuglegar lausnaraðferðir. Þessar aðferðir er að finna víðs vegar í textanum og mörg útreiknuð dæmi sýna hvernig á að nota þær fyrir einstök efni. Þú munt finna að þessar aðferðir fyrir samþætt hugmyndadæmi eru gagnlegar í hagnýtingu eðlisfræðinnar utan eðlisfræðinámskeiðs, svo sem í starfi þínu, í öðrum vísindagreinum og í daglegu lífi. Eftirfarandi dæmi munu byggja upp færni þína í víðtækri beitingu eðlisfræðilögmála.