4.3 Annað lögmál Newtons um hreyfingu: Hugtakið kerfi

Annað lögmál Newtons um hreyfingu: Hugtakið kerfi

Næmisviðmið

Í lok þessa kafla muntu geta:

Skilgreint heildarkraft, ytri kraft og kerfi.
Skilið annað lögmál Newtons um hreyfingu.
Beitt öðru lögmáli Newtons til að ákvarða þyngd hlutar.

Annað lögmál Newtons um hreyfingu (e. newton’s second law of motion) er nátengt fyrsta lögmáli Newtons um hreyfingu. Það lýsir á stærðfræðilegan hátt orsakasambandi krafts og hreyfingarbreytinga. Annað lögmál Newtons um hreyfingu er megindlegra og er mikið notað til að reikna út hvað gerist í aðstæðum þar sem kraftur kemur við sögu. Áður en við getum sett fram annað lögmál Newtons sem einfalda jöfnu sem gefur nákvæmt samband milli krafts, massa og hröðunar, þurfum við að skerpa á nokkrum hugmyndum sem þegar hafa verið nefndar.

Í fyrsta lagi, hvað meinum við með hreyfingarbreytingu? Svarið er að hreyfingarbreyting jafngildir breytingu á hraða. Breyting á hraða þýðir, samkvæmt skilgreiningu, að það er hröðun (e. acceleration). Fyrsta lögmál Newtons segir að ytri heildarkraftur valdi hreyfingarbreytingu; þannig sjáum við að ytri heildarkraftur veldur hröðun.

Önnur spurning vaknar strax. Hvað meinum við með ytri krafti? Innsæiskennd hugmynd um hvað er ytra er rétt – ytri kraftur (e. external force) verkar utan frá á kerfið (e. system) (hlut eða safn hluta) sem er til skoðunar. Til dæmis, í Mynd 4.8(a) er kerfið sem er til skoðunar vagninn ásamt barninu í honum. Kraftarnir tveir sem hin börnin beita eru ytri kraftar. Innri kraftur verkar á milli eininga kerfisins. Ef við lítum aftur á Mynd 4.8(a), þá er krafturinn sem barnið í vagninum beitir til að halda sér í vagninn innri kraftur milli eininga kerfisins sem er til skoðunar. Aðeins ytri kraftar hafa áhrif á hreyfingu kerfis, samkvæmt fyrsta lögmáli Newtons. (Innri kraftarnir núllast í raun út, eins og við munum sjá í næsta kafla.) Þú verður að skilgreina mörk kerfisins áður en þú getur ákvarðað hvaða kraftar eru ytri. Stundum er kerfið augljóst, en í öðrum tilvikum er flóknara að greina mörk kerfisins. Hugtakið kerfi er grundvallaratriði á mörgum sviðum eðlisfræðinnar, eins og rétt beiting lögmála Newtons er. Þetta hugtak verður tekið fyrir mörgum sinnum á ferðalagi okkar í gegnum eðlisfræðina.

(a) A boy in a wagon is pushed by two girls toward the right. The force on the boy is represented by vector F one toward the right, and the force on the wagon is represented by vector F two in the same direction. Acceleration a is shown by a vector a toward the right and a friction force f is acting in the opposite direction, represented by a vector pointing toward the left. The weight W of the wagon is shown by a vector acting downward, and the normal force acting upward on the wagon is represented by a vector N. A free-body diagram is also shown, with F one and F two represented by arrows in the same direction toward the right and f represented by an arrow toward the left, so the resultant force F net is represented by an arrow toward the right. W is represented by an arrow downward and N is represented by an arrow upward; both the arrows have same length. (b) A boy in a wagon is pushed by a woman with a force F adult, represented by an arrow pointing toward the right. A vector a-prime, represented by an arrow, depicts acceleration toward the right. Friction force, represented by a vector f, acts toward the left. The weight of the wagon W is shown by a vector pointing downward, and the Normal force, represented by a vector N having same length as W, acts upward. A free-body diagram for this situation shows force F represented by an arrow pointing to the right having a large length; a friction force vector represented by an arrow f pointing left has a small length. The weight W is represented by an arrow pointing downward, and the normal force N, is represented by an arrow pointing upward, having the same length as W. — Mynd 4.8 Mismunandi kraftar sem beitt er á sama massa valda mismunandi hröðun. (a) Tvö börn ýta kerru með barni í. Örvar sem tákna alla ytri krafta eru sýndar. Kerfið sem er til skoðunar er kerran og farþegi hennar. Þyngd ${{\text{w}}}$ kerfisins og stuðningur jarðar ${{\text{N}}}$ eru einnig sýndir til að gera myndina tæmandi og gert er ráð fyrir að þeir núllist út. Vektorinn ${{\text{f}}}$ táknar núninginn sem verkar á kerruna og hann verkar til vinstri og vinnur á móti hreyfingu kerrunnar. (b) Allir ytri kraftar sem verka á kerfið leggjast saman og mynda heildarkraft, ${{{\text{F}}_{{\text{net}}}}}$ . Kraftalínuritið sýnir alla krafta sem verka á kerfið sem er til skoðunar. Punkturinn táknar massamiðju kerfisins. Hver kraftvigur gengur út frá þessum punkti. Þar sem tveir kraftar verka til hægri teiknum við vigrana samsíða. (c) Stærri ytri heildarkraftur veldur meiri hröðun ( ${{{\text{a′}>\text{a}}}}$ ) þegar fullorðinn einstaklingur ýtir barninu.

Nú virðist eðlilegt að hröðun ætti að vera í beinu hlutfalli við og í sömu stefnu og ytri heildarkrafturinn (samanlagður) sem verkar á kerfi. Þessi forsenda hefur verið staðfest með tilraunum og er sýnd í Mynd 4.8. Í hluta (a) veldur minni kraftur minni hröðun en stærri krafturinn sem sýndur er í hluta (c). Til að gera myndina tæmandi eru lóðréttu kraftarnir einnig sýndir; gert er ráð fyrir að þeir núllist út þar sem engin hröðun er í lóðrétta stefnu. Lóðréttu kraftarnir eru þyngdin ${{\text{w}}}$ og stuðningur jarðar ${{\text{N}}}$ , og lárétti krafturinn ${{\text{f}}}$ táknar núningskraftinn. Þetta verður rætt nánar í síðari köflum. Í bili munum við skilgreina núning (e. friction) sem kraft sem vinnur á móti hreyfingu hluta sem snertast. Mynd 4.8(b) sýnir hvernig vigrar sem tákna ytri krafta leggjast saman og mynda heildarkraft, ${{{\text{F}}_{{\text{net}}}}}$ .

Til að fá jöfnu fyrir annað lögmál Newtons skrifum við fyrst sambandið milli hröðunar og ytri heildarkrafts sem hlutfallið

þar sem táknið $∝$ þýðir „í hlutfalli við“ og ${{{\text{F}}_{{\text{net}}}}}$ er ytri heildarkraftur (e. net external force). (Ytri heildarkraftur er vigursumma allra ytri krafta og hægt er að ákvarða hann myndrænt, með höfuð-hala aðferðinni, eða með reikningi, með því að nota þætti. Aðferðirnar eru þær sömu og við samlagningu annarra vigra og er fjallað um þær í Two-Dimensional Kinematics.) Þetta hlutfall staðfestir það sem við höfum sagt með orðum – hröðun er í beinu hlutfalli við ytri heildarkraft. Þegar kerfið sem er til skoðunar hefur verið valið er mikilvægt að greina ytri kraftana og hunsa þá innri. Það er gríðarleg einföldun að þurfa ekki að taka tillit til hinna fjölmörgu innri krafta sem verka milli hluta innan kerfisins, svo sem vöðvakrafta í líkama barnsins, að ógleymdum óteljandi kröftum milli atóma í hlutunum, en með því getum við auðveldlega leyst nokkur mjög flókin vandamál með aðeins lágmarks villu vegna einföldunar okkar.

Nú virðist einnig eðlilegt að hröðun ætti að vera í öfugu hlutfalli við massa kerfisins. Með öðrum orðum, því stærri sem massinn (tregðan) er, því minni er hröðunin sem tiltekinn kraftur veldur. Og reyndar, eins og sýnt er í Mynd 4.9, veldur sami ytri heildarkraftur sem beitt er á bíl mun minni hröðun en þegar honum er beitt á körfubolta. Hlutfallið er skrifað sem

(a) A basketball player pushes the ball with the force shown by a vector F toward the right and an acceleration a-one represented by an arrow toward the right. M sub one is the mass of the ball. (b) The same basketball player is pushing a car with the same force, represented by the vector F towards the right, resulting in an acceleration shown by a vector a toward the right. The mass of the car is m sub two. The acceleration in the second case, a sub two, is represented by a shorter arrow than in the first case, a sub one. — Mynd 4.9 Sami kraftur sem beitt er á kerfi með mismunandi massa veldur mismunandi hröðun. (a) Körfuboltamaður ýtir á körfubolta til að gefa sendingu. (Þyngdaráhrif á boltann eru hunsuð.) (b) Sami leikmaður beitir nákvæmlega sama krafti á bilaðan jeppa og veldur mun minni hröðun (jafnvel þótt núningur sé hverfandi). (c) Kraftamyndirnar eru eins, sem gerir beinan samanburð á aðstæðunum tveimur mögulegan. Þegar þú leysir fleiri verkefni munu ákveðin mynstur fyrir kraftamyndir koma í ljós.

þar sem ${{m}}$ er massi kerfisins. Tilraunir hafa sýnt að hröðun er nákvæmlega í öfugu hlutfalli við massa, alveg eins og hún er nákvæmlega í línulegu hlutfalli við ytri heildarkraft.

Það hefur komið í ljós að hröðun hlutar veltur aðeins á heildarytrikraftinum og massa hlutarins. Með því að sameina hlutföllin tvö sem nefnd voru hér að ofan fæst annað lögmál Newtons um hreyfingu.

Þótt þessar tvær síðustu jöfnur séu í raun þær sömu gefur sú fyrri meiri innsýn í hvað annað lögmál Newtons þýðir. Lögmálið er orsakasamband milli þriggja stærða sem byggist ekki einfaldlega á skilgreiningum þeirra. Gildi annars lögmálsins byggist alfarið á staðfestingu með tilraunum.

Einingar krafts

${{{{\text{F}}_{{\text{net}}}=m\text{a}}}}$ er notað til að skilgreina einingar krafts út frá grunneiningunum þremur fyrir massa, lengd og tíma. SI-eining krafts er kölluð njúton (e. newton) (skammstafað N) og er sá kraftur sem þarf til að hraða 1 kg kerfi um ${{{1{\text{m/s}}^{{2}}}}}$ . Það er, þar sem ${{{{\text{F}}_{{\text{net}}}=m\text{a}}}}$ ,

Þótt nær allur heimurinn noti njúton sem einingu fyrir kraft er algengasta eining krafts í Bandaríkjunum pund (lb), þar sem 1 N = 0,225 lb.

Þyngd og þyngdarkraftur

Samantekt kafla

Hröðun, ${{{\text{a}}}}$ , er skilgreind sem breyting á hraða, sem þýðir breyting á stærð hans eða stefnu, eða hvoru tveggja.
Ytri kraftur er kraftur sem verkar á kerfi utan frá, öfugt við innri krafta sem verka milli eininga innan kerfisins.
Annað lögmál Newtons um hreyfingu segir að hröðun kerfis sé í beinu hlutfalli við og í sömu stefnu og heildarytrikrafturinn sem verkar á kerfið, og í öfugu hlutfalli við massa þess.
Í jöfnulíki er annað lögmál Newtons um hreyfingu ${{{\text{a}=\frac{{\text{F}}_{{\text{net}}}}{m}}}}$ .
Þetta er oft skrifað á hinu kunnuglegra formi: ${{{{\text{F}}_{{\text{net}}}=m\text{a}}}}$ .
Þyngd ${{\text{w}}}$ hlutar er skilgreind sem þyngdarkrafturinn sem verkar á hlut með massa ${{m}}$ . Hluturinn verður fyrir þyngdarhröðun ${{\text{g}}}$ :
Ef eini krafturinn sem verkar á hlut er vegna þyngdarafls er hluturinn í frjálsu falli.
Núningur er kraftur sem vinnur gegn hreyfingu hluta sem snertast og hreyfast hvor fram hjá öðrum.

Hugmyndafræðilegar spurningar

Hvort er rétt? (a) Heildarkraftur veldur hreyfingu. (b) Heildarkraftur veldur breytingu á hreyfingu. Útskýrðu svarið og gefðu dæmi.

Af hverju getum við hunsað krafta eins og þá sem halda líkama saman þegar við beitum öðru lögmáli Newtons um hreyfingu?

Útskýrðu hvernig valið á „viðfangskerfinu“ hefur áhrif á hvaða krafta þarf að taka tillit til þegar öðru lögmáli Newtons um hreyfingu er beitt.

Lýstu aðstæðum þar sem heildarytrikraftur á kerfi er ekki núll, en hraði þess helst samt óbreyttur.

Kerfi getur haft hraðavigur sem er ekki núll á meðan heildarytrikrafturinn á það er núll. Lýstu slíkum aðstæðum.

Steini er kastað beint upp. Hver er heildarytrikrafturinn sem verkar á steininn þegar hann er á hæsta punkti ferils síns?

(a) Gefðu dæmi um mismunandi heildarytrikrafta sem verka á sama kerfi og valda mismunandi hröðun. (b) Gefðu dæmi um sama heildarytrikraft sem verkar á kerfi með mismunandi massa og veldur mismunandi hröðun. (c) Hvaða lögmál lýsir báðum áhrifunum nákvæmlega? Tilgreindu það með orðum og sem jöfnu.

Ef hröðun kerfis er núll, verka þá engir ytri kraftar á það? Hvað með innri krafta? Útskýrðu svör þín.

Ef stöðugur kraftur, sem er ekki núll, verkar á hlut, hvað geturðu sagt um hraða og hröðun hlutarins?

Þyngdarkrafturinn á körfuboltann í Mynd 4.9 er hunsaður. Þegar þyngdarkrafturinn er tekinn með í reikninginn, hver er stefna heildarytrikraftsins á körfuboltann — fyrir ofan lárétt, fyrir neðan lárétt eða ennþá lárétt?

Reikningsdæmi

Þú mátt gera ráð fyrir að gögn sem tekin eru af myndum séu nákvæm með þremur markverðum stöfum.

63,0 kg spretthlaupari byrjar keppni með hröðunina ${{{4\text{.}\text{20 m}{\text{/s}}^{{2}}}}}$ . Hver er heildarytrikrafturinn sem verkar á hann?

Ef spretthlauparinn úr fyrra dæmi hefur þessa hröðun í 20 m og heldur síðan þeim hraða það sem eftir er af 100 metra hlaupinu, hver verður tími hans í hlaupinu?

Ræstingarmaður ýtir 4,50 kg þvottakörfu á þann hátt að heildarytrikrafturinn á hana er 60,0 N. Reiknaðu stærð hröðunar hennar.

Þar sem geimfarar á sporbaug virðast þyngdarlausir þarf snjalla aðferð til að mæla massa þeirra til að fylgjast með massabreytingum og aðlaga mataræði. Ein leið til þess er að beita þekktum krafti á geimfara og mæla hröðunina sem myndast. Gerum ráð fyrir að beitt sé heildarytrikrafti upp á 50,0 N og hröðun geimfarans mælist ${{{0\text{.}{\text{893 m/s}}^{{2}}}}}$ . (a) Reiknaðu massa hans. (b) Með því að beita krafti á geimfarann verkar jafnstór og gagnstæður kraftur á farið sem hann er í. Ræddu hvernig þetta myndi hafa áhrif á mælingu á hröðun geimfarans. Leggðu til aðferð þar sem komist er hjá bakslagi farsins.

Í Mynd 4.13 er heildarytrikrafturinn á 24 kg sláttuvélina sagður vera 51 N. Ef núningskrafturinn sem vinnur gegn hreyfingunni er 24 N, hvaða krafti ${{F}}$ (í njútonum) beitir manneskjan á sláttuvélina? Gerum ráð fyrir að sláttuvélin hreyfist á 1,5 m/s þegar krafturinn ${{F}}$ er fjarlægður. Hversu langt fer sláttuvélin áður en hún stöðvast?

Sami eldflaugasleði og sýndur er á Mynd 4.10 er hægður með hröðuninni ${{{1{\text{96 m/s}}^{{2}}}}}$ . Hvaða kraft þarf til að framkalla þessa hraðaminnkun? Gerum ráð fyrir að slökkt sé á eldflaugunum. Massi kerfisins er 2100 kg.

A sled is shown with four rockets. Friction force is represented by an arrow labeled as vector f pointing toward the left on the sled. Weight of the sled is represented by an arrow labeled as vector W, shown pointing downward, and normal force is represented by an arrow labeled as vector N having the same length as W acting upward on the sled.

(a) Ef eldflaugasleðinn sem sýndur er á Mynd 4.11 byrjar með aðeins eina eldflaug í gangi, hver er stærð hröðunar hans? Gerum ráð fyrir að massi kerfisins sé 2100 kg, þrýstikrafturinn T sé ${2,59\times {10}^{4}}$ N og núningskrafturinn sem vinnur gegn hreyfingunni sé 650 N. (b) Hvers vegna er hröðunin ekki einn fjórði af því sem hún er þegar allar eldflaugar eru í gangi?

A sled is shown with thrust represented by a vector T pushing the sled toward the right. Friction force is represented by an arrow labeled as vector f pointing toward the left on the sled. The weight of the sled is represented by an arrow labeled as vector W, shown pointing downward, and the normal force is represented by an arrow labeled as vector N having the same length as W acting upward on the sled.

Hver er hraðaminnkun eldflaugasleðans ef hann stöðvast á 1,1 s af hraðanum 1000 km/klst? (Slík hraðaminnkun olli því að einn prófunaraðili missti meðvitund og fékk tímabundna blindu.)

Gerum ráð fyrir að tvö börn ýti lárétt, en í nákvæmlega gagnstæðar áttir, á þriðja barn í kerru. Fyrra barnið beitir kraftinum 75,0 N, seinna barnið kraftinum 90,0 N, núningur er 12,0 N og massi þriðja barnsins ásamt kerru er 23,0 kg. Hvað er kerfið sem vekur áhuga ef reikna á hröðun barnsins í kerrunni? Teiknaðu kraftamynd sem sýnir alla krafta sem verka á kerfið. Reiknaðu hröðunina. Hver væri hröðunin ef núningurinn væri 15,0 N?

What is the system of interest if the acceleration of the child in the wagon is to be calculated?
Draw a free-body diagram, including all forces acting on the system.
Calculate the acceleration.
What would the acceleration be if friction were 15.0 N?

Öflugt mótorhjól getur framkallað hröðunina ${{{3,50\, {\text{m/s}}^{{2}}}}}$ á meðan það ferðast á 90,0 km/klst. Á þeim hraða eru heildarkraftar sem vinna gegn hreyfingunni, þar með talið núningur og loftmótstaða, 400 N. (Loftmótstaða er hliðstæð loftnúningi. Hún vinnur alltaf gegn hreyfingu hlutar.) Hver er stærð kraftsins sem mótorhjólið beitir aftur á bak á jörðina til að framkalla hröðun sína ef massi mótorhjólsins með ökumanni er 245 kg?

Eldflaugasleðinn sem sýndur er á Mynd 4.12 hefur hröðunina ${{{49,0\, {\text{m/s}}^{{2}}}}}$ . Farþegi hans hefur massann 75,0 kg. (a) Reiknaðu lárétta þátt kraftsins sem sætið beitir á líkama hans. Berðu þetta saman við þyngd hans með því að nota hlutfall. (b) Reiknaðu stefnu og stærð heildarkraftsins sem sætið beitir á líkama hans.

A sled is shown with four rockets. Friction force is represented by an arrow labeled as vector f pointing toward the left on the sled. The weight of the sled is represented by an arrow labeled as vector W, shown pointing downward, and the normal force is represented by an arrow labeled as vector N having the same length as W acting upward on the sled.

Endurtaktu fyrri dæmið fyrir aðstæður þar sem eldflaugasleðinn hægir á sér með hröðun ${{{2{\text{01 m/s}}^{{2}}}}}$ . Í þessu dæmi eru kraftarnir frá sætinu og öryggisbeltunum.

Þyngd geimfara ásamt geimbúningi hans á tunglinu er aðeins 250 N. Hversu mikið vegur hann á jörðinni? Hver er massi hans á tunglinu? Á jörðinni?

Gerum ráð fyrir að massi fullhlaðinnar lendingareiningar sem geimfarar nota til að taka á loft frá tunglinu sé 10.000 kg. Átak hreyflanna er 30.000 N. (a) Reiknaðu stærð hröðunar hennar í lóðréttu flugtaki frá tunglinu. (b) Gæti hún tekið á loft frá jörðinni? Ef ekki, hvers vegna ekki? Ef hún gæti það, reiknaðu stærð hröðunar hennar.

Þegar hlut er sleppt hraðar hann í átt að miðju jarðar. Annað lögmál Newtons segir að heildarkraftur á hlut sé ábyrgur fyrir hröðun hans. Ef loftmótstaða er hverfandi er heildarkrafturinn á fallandi hlut þyngdarkrafturinn, sem almennt er kallaður þyngd (e. weight) hans ${{\text{w}}}$ . Þyngd má tákna sem vigur ${{\text{w}}}$ því hún hefur stefnu; niður er, samkvæmt skilgreiningu, stefna þyngdaraflsins og því er þyngd kraftur sem verkar niður á við. Stærð þyngdar er táknuð með ${{w}}$ . Galíleó átti stóran þátt í að sýna fram á að án loftmótstöðu falla allir hlutir með sömu hröðun ${{g}}$ . Með því að nota niðurstöðu Galíleós og annað lögmál Newtons getum við leitt út jöfnu fyrir þyngd.

Hugsum okkur hlut með massa ${{m}}$ sem fellur niður í átt að jörðinni. Hann verður aðeins fyrir þyngdarkraftinum sem verkar niður á við og hefur stærðina ${{w}}$ . Annað lögmál Newtons segir að stærð ytri heildarkrafts á hlut sé ${{{{F}_{{\text{net}}}={\text{ma}}}}}$ .

Þar sem hluturinn verður aðeins fyrir þyngdarkraftinum sem verkar niður á við er ${{{{F}_{{\text{net}}}=w}}}$ . Við vitum að stærð hröðunar hlutar vegna þyngdarafls er ${{g}}$ , eða ${{{a=g}}}$ . Með því að setja þetta inn í annað lögmál Newtons fæst

Þegar ytri heildarkraftur á hlut er þyngd hans segjum við að hann sé í frjálsu falli (e. free-fall). Það er að segja, eini krafturinn sem verkar á hlutinn er þyngdarkrafturinn. Í raunveruleikanum, þegar hlutir falla niður í átt að jörðinni, eru þeir aldrei í raunverulegu frjálsu falli því það er alltaf einhver kraftur upp á við frá loftinu sem verkar á hlutinn.

Þyngdarhröðunin ${{g}}$ er örlítið breytileg yfir yfirborð jarðar, þannig að þyngd hlutar fer eftir staðsetningu og er ekki eðlislægur eiginleiki hlutarins. Þyngd breytist verulega ef maður yfirgefur yfirborð jarðar. Á tunglinu er þyngdarhröðunin til dæmis aðeins ${{{1,625\, {\text{m/s}}^{{2}}}}}$ . 1,0 kg massi hefur því þyngdina 9,8 N á jörðinni en aðeins um 1,7 N á tunglinu.

Víðasta skilgreiningin á þyngd í þessum skilningi er að þyngd hlutar er þyngdarkrafturinn sem verkar á hann frá næsta stóra himinhnetti, svo sem jörðinni, tunglinu, sólinni og svo framvegis. Þetta er algengasta og gagnlegasta skilgreiningin á þyngd í eðlisfræði. Hún er hins vegar verulega frábrugðin þeirri skilgreiningu á þyngd sem NASA og almennir fjölmiðlar nota í tengslum við geimferðir og geimkönnun. Þegar þeir tala um „þyngdarleysi“ og „örþyngdarafl“ eru þeir í raun að vísa til þess fyrirbæris sem við köllum „frjálst fall“ í eðlisfræði. Við munum nota ofangreinda skilgreiningu á þyngd og við munum gera vandlegan greinarmun á frjálsu falli og raunverulegu þyngdarleysi.

Það er mikilvægt að vera meðvitaður um að þyngd og massi eru mjög ólík eðlisfræðileg stærð, þótt þau séu nátengd. Massi er magn efnis (hversu mikið „efni“) og breytist ekki í klassískri eðlisfræði, en þyngd er þyngdarkraftur og breytist eftir þyngdarafli. Það er freistandi að leggja þetta tvennt að jöfnu, þar sem flest dæmi okkar eiga sér stað á jörðinni, þar sem þyngd hlutar breytist aðeins lítið með staðsetningu hlutarins. Enn fremur eru hugtökin massi og þyngd notuð til skiptis í daglegu tali; til dæmis sýna sjúkraskrár okkar oft „þyngd“ okkar í kílógrömmum, en aldrei í réttum einingum, njútonum.

Algengar ranghugmyndir: Massi og þyngd

Hugtökin massi og þyngd eru oft notuð til skiptis í daglegu tali. Í vísindum eru þessi hugtök hins vegar greinilega ólík. Massi er mælikvarði á hversu mikið efni er í hlut. Venjulegur mælikvarði á massa er kílógrammið (eða „slug“ í enskum einingum). Þyngd er aftur á móti mælikvarði á þyngdarkraftinn sem verkar á hlut. Þyngd er jöfn massa hlutar ( ${{m}}$ ) margfaldað með þyngdarhröðun ( ${{g}}$ ). Eins og hver annar kraftur er þyngd mæld í njútonum (eða pundum í enskum einingum).

Að því gefnu að massi hlutar haldist óbreyttur, þá helst hann sá sami, óháð staðsetningu. Hins vegar, þar sem þyngd er háð þyngdarhröðun, þá getur þyngd hlutar breyst þegar hluturinn fer inn á svæði með meiri eða minni þyngdarkrafti. Til dæmis er þyngdarhröðunin á tunglinu ${{{1,625\, {\text{m/s}}^{{2}}}}}$ (sem er mun minni en þyngdarhröðunin á jörðinni, ${{{9,80\, {\text{m/s}}^{{2}}}}}$ ). Ef þú mældir þyngd þína á jörðinni og mældir síðan þyngd þína á tunglinu, myndir þú komast að því að þú „vegur“ mun minna, jafnvel þótt þú lítir ekkert grennri út. Þetta er vegna þess að þyngdarkrafturinn er veikari á tunglinu. Reyndar, þegar fólk segist vera að „léttast“, þá meinar það í raun að það sé að missa „massa“ (sem aftur veldur því að það vegur minna).

Dæmi 4.1

Aðferð

Gefum okkur að heildarytri krafturinn (ýtikraftur mínus núningur) sem verkar á sláttuvél sé 51 N (um 11 lb) samsíða jörðu. Massi sláttuvélarinnar er 24 kg. Hver er hröðun hennar?

Strategy

Þar sem ${{{\text{F}}_{{\text{net}}}}}$ og ${{m}}$ eru gefin er hægt að reikna hröðunina beint út frá öðru lögmáli Newtons eins og fram kemur í ${{{{\text{F}}_{{\text{net}}}=m\text{a}}}}$ .

Lausn

Stærð hröðunarinnar ${{a}}$ er ${{{a=\frac{{F}_{{\text{net}}}}{m}}}}$ . Með því að setja inn þekkt gildi fæst

${{{a = \frac{{\text{51 N}}}{{\text{24 kg}}}}}}$

Með því að setja inn einingarnar ${{{\text{kg}⋅{\text{m/s}}^{{2}}}}}$ fyrir N fæst

${{{{{a=\frac{{{\text{51 kg}⋅{\text{m/s}}^{{2}}}}}{{\text{24 kg}}}}=}\text{2,1 m}{\text{/s}}^{{2}}}}}.$

Umræða

Stefna hröðunarinnar er sú sama og stefna heildarkraftsins, sem er samsíða jörðu. Engar upplýsingar eru gefnar í þessu dæmi um einstaka ytri krafta sem verka á kerfið, en við getum sagt eitthvað um hlutfallslegar stærðir þeirra. Til dæmis verður krafturinn frá manneskjunni sem ýtir sláttuvélinni að vera meiri en núningurinn sem vinnur gegn hreyfingunni (þar sem við vitum að sláttuvélin hreyfist áfram), og lóðréttu kraftarnir verða að núllast út ef engin hröðun á að vera í lóðrétta stefnu (sláttuvélin hreyfist aðeins lárétt). Hröðunin sem fannst er nægilega lítil til að vera raunhæf fyrir manneskju sem ýtir sláttuvél. Slíkt átak myndi ekki vara lengi því hámarkshraða manneskjunnar yrði fljótlega náð.

A man pushing a lawnmower to the right. A red vector above the lawnmower is pointing to the right and labeled F sub net. — Mynd 4.13 Heildarkrafturinn á sláttuvél er 51 N til hægri. Með hvaða hröðun hreyfist sláttuvélin til hægri?

Dæmi 4.2

Aðferð

Áður en geimferðir með geimförum hófust voru eldflaugasleðar notaðir til að prófa flugvélar, eldflaugabúnað og lífeðlisfræðileg áhrif á menn við mikinn hraða. Þeir samanstóðu af palli sem var festur á eina eða tvær teina og knúinn áfram af nokkrum eldflaugum. Reiknaðu stærð kraftsins sem hver eldflaug beitir, kallaður þrýstikraftur hennar ${{\text{T}}}$ , fyrir fjögurra eldflauga drifkerfið sem sýnt er í Mynd 4.14. Upphafshröðun sleðans er ${{{\text{49}\, {\text{m/s}}^{{2}}},}}$ , massi kerfisins er 2100 kg og vitað er að núningskrafturinn sem vinnur gegn hreyfingunni er 650 N.

Strategy

Þrátt fyrir að kraftar verki bæði lóðrétt og lárétt, gerum við ráð fyrir að lóðréttu kraftarnir núllist út þar sem engin lóðrétt hröðun er. Þetta skilur okkur eftir með aðeins lárétta krafta og einfaldara einvítt verkefni. Stefnur eru táknaðar með plús- eða mínusmerkjum, þar sem hægri er tekin sem jákvæð stefna. Sjá kraftamyndina á myndinni.

Lausn

Þar sem hröðun, massi og núningskraftur eru gefin, byrjum við á öðru lögmáli Newtons og leitum leiða til að finna þrýstikraft vélanna. Þar sem við höfum skilgreint stefnu kraftsins og hröðunarinnar sem „til hægri“, þurfum við aðeins að huga að stærðum þessara stærða í útreikningunum. Þess vegna byrjum við á:

${{{{F}_{{\text{net}}}={\text{ma}}}}},$

þar sem ${{{F}_{{\text{net}}}}}$ er heildarkrafturinn í lárétta stefnu. Við sjáum á Mynd 4.14 að þrýstikraftar vélanna leggjast saman, á meðan núningur vinnur gegn þrýstikraftinum. Í jöfnunni er heildarytri krafturinn:

${{{{{F}_{{\text{net}}}}={4T−f}}}}.$

Með því að setja þetta inn í annað lögmál Newtons fæst:

${{{{{F}_{{\text{net}}}={\text{ma}}}={4T−f}}}}.$

Með smá algebru leysum við fyrir heildarþrýstikraftinn 4T:

${{{4T={{\text{ma}}+f}}}}.$

Með því að setja inn þekkt gildi fæst:

${{{{{4T={{\text{ma}}+f}}=(}\text{2100 kg})({\text{49 m/s}}^{{2}}{)+\text{650 N}}}}}.$

Þannig að heildarþrýstikrafturinn er:

${{{{4T=1,0}{×{\text{10}}^{{5}}}\, \text{N}}}},$

og hver einstakur knýr er

${{{{{T = \frac{{1,0 {× {\text{10}}^{{5}}}\, \text{N}}}{4}} = 2,6 × {\text{10}}^{{4}}}\, \text{N}}}} .$

Umræða

Tölurnar eru nokkuð stórar, svo niðurstaðan gæti komið þér á óvart. Tilraunir sem þessar voru gerðar snemma á sjöunda áratugnum til að prófa þolmörk manna og til að hanna búnað til að vernda fólk í neyðarútsteypingu úr þotubardagavélum. Hraða upp á 1000 km/klst var náð, með hröðun upp á 45 ${{g}}$ . (Mundu að ${{g}}$ , hröðun vegna þyngdarafls, er ${{{9\text{.}{\text{80 m/s}}^{{2}}}}}$ . Þegar við segjum að hröðun sé 45 ${{g}}$ , þá er hún ${{{\text{45}×9\text{.}{\text{80 m/s}}^{{2}}}}}$ , sem er um það bil ${{{\text{440 m/s}}^{{2}}}}$ .) Þótt lifandi verur séu ekki lengur notaðar hefur hraða upp á 10.000 km/klst verið náð á landi með eldflaugasleðum. Í þessu dæmi, eins og í því á undan, er kerfið sem vekur áhuga augljóst. Við munum sjá í síðari dæmum að það er mikilvægt að velja kerfið sem vekur áhuga – og valið er ekki alltaf augljóst.

Annað lögmál Newtons um hreyfingu er meira en skilgreining; það er samband milli hröðunar, krafts og massa. Það getur hjálpað okkur að spá fyrir um hluti. Hægt er að skilgreina hverja þessara eðlisfræðilegu stærða sjálfstætt, þannig að annað lögmálið segir okkur eitthvað grundvallaratriði og altækt um náttúruna. Næsti kafli kynnir þriðja og síðasta lögmálið um hreyfingu.

A sled is shown with four rockets, each producing the same thrust, represented by equal length arrows labeled as vector T pushing the sled toward the right. Friction force is represented by an arrow labeled as vector f pointing toward the left on the sled. The weight of the sled is represented by an arrow labeled as vector W, shown pointing downward, and the normal force is represented by an arrow labeled as vector N having the same length as W acting upward on the sled. A free-body diagram is also shown for the situation. Four arrows of equal length representing vector T point toward the right, a vector f represented by a smaller arrow points left, vector N is an arrow pointing upward, and the weight W is an arrow of equal length pointing downward. — Mynd 4.14 Sleði verður fyrir eldflaugakný sem hraðar honum til hægri. Hver eldflaug myndar eins kný ${{\text{T}}}$ . Eins og í öðrum aðstæðum þar sem aðeins er um lárétta hröðun að ræða, núllast lóðréttu kraftarnir út. Jörðin beitir uppsveigðum krafti ${{\text{N}}}$ á kerfið sem er jafnstór og í gagnstæða átt við þyngd þess, ${{\text{w}}}$ . Kerfið hér er sleðinn, eldflaugar hans og ökumaður, þannig að engir kraftar *milli* þessara hluta eru teknir til greina. Örin sem táknar núning ( ${{\text{f}}}$ ) er teiknuð stærri en í réttum hlutföllum.