4.4 Þriðja lögmál Newtons um hreyfingu: Samhverfa í kröftum

Þriðja lögmál Newtons um hreyfingu: Samhverfa í kröftum

Námstakmarkmið

Í lok þessa kafla munt þú geta:

Skilið þriðja lögmál Newtons um hreyfingu.
Beitt þriðja lögmáli Newtons til að skilgreina kerfi og leysa hreyfingarverkefni.

Kastari í hafnabolta, Mariano Rivera, var svo mikils metinn að á síðasta ári hans á ferlinum héldu mótherjaliðin kveðjuathafnir þegar hann spilaði á leikvöngum þeirra. Minnesota Twins færðu honum einstaka gjöf: Stól gerðan úr brotnum kylfum. Hvaða kast sem er getur brotið kylfu, en með einkenniskasti Rivera – þekktu sem „cutter“ – rákust boltinn og kylfan oft saman á punkti sem mölbraut harðviðinn. Yfirleitt hugsum við um hafnabolta- eða mjúkboltaslagara sem beitir krafti á boltann sem kemur á móti og hafnaboltasérfræðingar einblína á „úthraðann“ sem verður til sem lykiltölfræði. En kraftur boltans getur valdið sínum eigin skaða. Þetta er nákvæmlega það sem gerist þegar einn hlutur beitir krafti á annan – sá fyrri verður einnig fyrir krafti (jafnstórum að stærð og gagnstæðum að stefnu). Fjölmargar algengar upplifanir, eins og að reka tána í eða spyrna sér frá gólfinu í stökki, staðfesta þetta. Þetta er nákvæmlega tekið fram í þriðja lögmáli Newtons um hreyfingu (e. newton’s third law of motion).

Þetta lögmál táknar ákveðna samhverfu í náttúrunni: Kraftar koma alltaf fyrir í pörum og einn hlutur getur ekki beitt krafti á annan án þess að verða sjálfur fyrir krafti. Við vísum stundum lauslega til þessa lögmáls sem „átak-gagntak“, þar sem krafturinn sem beitt er er átakið og krafturinn sem verður fyrir í kjölfarið er gagntakið. Þriðja lögmál Newtons hefur hagnýtt gildi við að greina uppruna krafta og skilja hvaða kraftar eru ytri kerfi.

Við getum auðveldlega séð þriðja lögmál Newtons að verki með því að skoða hvernig fólk hreyfir sig úr stað. Ímyndum okkur sundmann sem spyrnir sér frá sundlaugarbakkanum, eins og sýnt er á Mynd 4.15. Hún spyrnir á móti laugarveggnum með fótunum og hraðar sér í gagnstæða átt við spyrnuna. Veggurinn hefur beitt jafnstórum og gagnstæðum krafti til baka á sundmanninn. Þú gætir haldið að tveir jafnstórir og gagnstæðir kraftar myndu núllast út, en þeir gera það ekki vegna þess að þeir verka á mismunandi kerfi. Í þessu tilfelli eru tvö kerfi sem við gætum rannsakað: sundmaðurinn eða veggurinn. Ef við veljum sundmanninn sem kerfið sem við höfum áhuga á, eins og á myndinni, þá er ${{{\text{F}}_{{\text{wall on feet}}}}}$ ytri kraftur á þetta kerfi og hefur áhrif á hreyfingu þess. Sundmaðurinn hreyfist í stefnu ${{{\text{F}}_{{\text{wall on feet}}}}}$ . Aftur á móti verkar krafturinn ${{{\text{F}}_{{\text{feet on wall}}}}}$ á vegginn en ekki á kerfið sem við höfum áhuga á. Þannig hefur ${{{\text{F}}_{{\text{feet on wall}}}}}$ ekki bein áhrif á hreyfingu kerfisins og núllar ekki út ${{{\text{F}}_{{\text{wall on feet}}}}}$ . Taktu eftir að sundmaðurinn spyrnir í gagnstæða átt við þá sem hún vill hreyfast í. Gagntakið við spyrnu hennar er því í þá átt sem óskað er.

A swimmer is exerting a force with her feet on a wall inside a swimming pool represented by an arrow labeled as vector F sub Feet on wall, pointing toward the right, and the wall is also exerting an equal force on her feet, represented by an arrow labeled as vector F sub Wall on feet, having the same length but pointing toward the left. The direction of acceleration of the swimmer is toward the left, shown by an arrow toward the left. — Mynd 4.15 Þegar sundmaðurinn beitir kraftinum ${{{\text{F}}_{{\text{feet on wall}}}}}$ á vegginn hraðar hún sér í gagnstæða átt við spyrnuna. Þetta þýðir að heildarytrikrafturinn á hana er í gagnstæða átt við ${{{\text{F}}_{{\text{feet on wall}}}}}$ . Þessi andstaða á sér stað vegna þess að, í samræmi við þriðja lögmál Newtons um hreyfingu, beitir veggurinn kraftinum ${{{\text{F}}_{{\text{wall on feet}}}}}$ á hana, jafnstórum að stærð en í gagnstæða átt við þann sem hún beitir á hann. Línan í kringum sundmanninn gefur til kynna kerfið sem er til skoðunar. Taktu eftir að ${{{\text{F}}_{{\text{feet on wall}}}}}$ verkar ekki á þetta kerfi (sundmanninn) og núllar því ekki út ${{{\text{F}}_{{\text{wall on feet}}}}}$ . Þannig sýnir kraftamyndin aðeins ${{{\text{F}}_{{\text{wall on feet}}}}}$ , ${{\text{w}}}$ , þyngdarkraftinn, og ${{{\text{BF}}}}$ , flotkraft vatnsins sem heldur uppi þyngd sundmannsins. Lóðréttu kraftarnir ${{\text{w}}}$ og ${{{\text{BF}}}}$ núllast út þar sem engin lóðrétt hreyfing er.

Auðvelt er að finna önnur dæmi um þriðja lögmál Newtons. Þegar prófessor gengur fyrir framan töflu beitir hún krafti aftur á bak á gólfið. Gólfið beitir gagntakskrafti áfram á prófessorinn sem veldur því að hún hraðar sér áfram. Á svipaðan hátt hraðar bíll sér vegna þess að jörðin ýtir áfram á drifhjólin sem gagntak við því að drifhjólin ýta aftur á bak á jörðina. Þú getur séð merki þess að hjólin ýti aftur á bak þegar dekk spóla á malarvegi og kasta möl aftur á bak. Í öðru dæmi hreyfast eldflaugar áfram með því að þeyta gasi aftur á bak á miklum hraða. Þetta þýðir að eldflaugin beitir stórum krafti aftur á bak á gasið í brunahólfi eldflaugarinnar og gasið beitir því stórum gagntakskrafti áfram á eldflaugina. Þessi gagntakskraftur er kallaður þrýstikraftur (e. thrust). Það er algengur misskilningur að eldflaugar knýi sig áfram með því að ýta á jörðina eða loftið fyrir aftan sig. Þær virka í raun betur í lofttómi, þar sem þær geta auðveldar losað sig við útblásturslofttegundirnar. Þyrlur skapa á svipaðan hátt lyftikraft með því að ýta lofti niður og verða þannig fyrir gagntakskrafti upp á við. Fuglar og flugvélar fljúga einnig með því að beita krafti á loft í gagnstæða átt við þann kraft sem þau þurfa. Til dæmis beita vængir fugls krafti á loft niður og aftur á bak til að fá lyftikraft og hreyfast áfram. Kolkrabbi knýr sig áfram í vatni með því að sprauta vatni í gegnum trekt úr líkama sínum, svipað og sæþota. Hnefaleikakappar og aðrir bardagalistakappar verða fyrir gagntakskröftum þegar þeir slá, og brjóta stundum höndina á sér við að slá í líkama andstæðings.

Dæmi 4.3

Lausnarleið

Eðlisfræðiprófessor ýtir kerru með sýnikennslutækjum að fyrirlestrasal, eins og sést á Mynd 4.16. Massi hennar er 65,0 kg, massi kerrunnar er 12,0 kg og massi tækjanna er 7,0 kg. Reiknaðu hröðunina sem myndast þegar prófessorinn beitir 150 N krafti aftur á bak á gólfið. Allir kraftar sem vinna gegn hreyfingunni, svo sem núningur á hjólum kerrunnar og loftmótstaða, eru samtals 24,0 N.

Strategy

Þar sem þau hröðunast sem ein heild skilgreinum við kerfið sem prófessorinn, vagninn og búnaðinn. Þetta er kerfi 1 í Mynd 4.16. Prófessorinn ýtir aftur á bak með kraftinum ${{{\text{F}}_{{\text{foot}}}}}$ sem er 150 N. Samkvæmt þriðja lögmáli Newtons beitir gólfið framvirkandi andkrafti ${{{\text{F}}_{{\text{floor}}}}}$ sem er 150 N á kerfi 1. Þar sem öll hreyfing er lárétt getum við gert ráð fyrir að enginn heildarkraftur sé í lóðrétta stefnu. Vandamálið er því einvítt eftir lárétta ásnum. Eins og fram hefur komið vinnur ${{\text{f}}}$ gegn hreyfingunni og er því í gagnstæða átt við ${{{\text{F}}_{{\text{floor}}}}}$ . Athugið að við tökum ekki með kraftana ${{{\text{F}}_{{\text{prof}}}}}$ eða ${{{\text{F}}_{{\text{cart}}}}}$ því þeir eru innri kraftar og við tökum ekki með ${{{\text{F}}_{{\text{foot}}}}}$ því hann verkar á gólfið, ekki á kerfið. Engir aðrir marktækir kraftar verka á kerfi 1. Ef hægt er að finna ytri heildarkraftinn út frá öllum þessum upplýsingum getum við notað annað lögmál Newtons til að finna hröðunina eins og beðið var um. Sjá kraftamyndina á myndinni.

Lausn

Annað lögmál Newtons er gefið með

${{{a=\frac{{F}_{{\text{net}}}}{m}}}}.$

Ytri heildarkrafturinn á kerfi 1 er ályktaður út frá Mynd 4.16 og umræðunni hér að ofan og er

${{{{{{F}_{{\text{net}}} = {{F}_{{\text{floor}}} − f}} = {\text{150 N} − \text{24}}} \text{.} {\text{0 N} = \text{126 N}}}}} .$

Massi kerfis 1 er

${{{{m=(}\text{65}\text{.}{\text{0}+\text{12}}\text{.}{\text{0}+\text{7}}\text{.}0){\, \text{kg}=\text{84 kg}}}}}.$

Þessi gildi fyrir ${{F}_{{\text{net}}}}$ og ${{m}}$ gefa hröðunina

${{\begin{aligned} {{{a = \frac{{F}_{{\text{net}}}}{m}} ,}} \\ {{a = \frac{{1 \text{26 N}}}{{\text{84 kg}}}} = \text{1}} \text{.} {\text{5 m/s}}^{{2}} \text{.} \end{aligned}}}$

Umræða

Enginn af kröftunum milli íhluta kerfis 1, eins og milli handa prófessorsins og vagnsins, leggur til ytri heildarkraftsins því þeir eru innri í kerfi 1. Önnur leið til að líta á þetta er að taka eftir því að kraftar milli íhluta kerfis núllast út því þeir eru jafnstórir en í gagnstæða stefnu. Til dæmis veldur krafturinn sem prófessorinn beitir á vagninn jafnstórum og gagnstæðum krafti til baka á hana. Í þessu tilviki verka báðir kraftar á sama kerfið og núllast því út. Þannig núllast innri kraftar (milli íhluta kerfis) út. Það var lykilatriði að velja kerfi 1 til að leysa þetta vandamál.

A professor is pushing a cart of demonstration equipment. Two systems are labeled in the figure. System one includes both the professor and cart, and system two only has the cart. She is exerting some force F sub prof toward the right, shown by a vector arrow, and the cart is also pushing her with the same magnitude of force directed toward the left, shown by a vector F sub cart, having same length as F sub prof. The friction force small f is shown by a vector arrow pointing left acting between the wheels of the cart and the floor. The professor is pushing the floor with her feet with a force F sub foot toward the left, shown by a vector arrow. The floor is pushing her feet with a force that has the same magnitude, F sub floor, shown by a vector arrow pointing right that has the same length as the vector F sub foot. A free-body diagram is also shown. For system one, friction force acting toward the left is shown by a vector arrow having a small length, and the force F sub floor is acting toward the right, shown by a vector arrow larger than the length of vector f. In system two, friction force represented by a short vector small f acts toward the left and another vector F sub prof is represented by a vector arrow toward the right. F sub prof is longer than small f. — Mynd 4.16 Prófessor ýtir á vagn með sýnikennslutækjum. Lengd örvanna er í réttu hlutfalli við stærð kraftanna (nema fyrir ${{\text{f}}}$ , þar sem hann er of lítill til að teikna í réttum skala). Mismunandi spurningum er svarað í hverju dæmi; því verður að skilgreina kerfið sem er til skoðunar á mismunandi hátt fyrir hvert þeirra. Kerfi 1 hentar fyrir þetta dæmi, þar sem spurt er um hröðun alls hóps hlutanna. Aðeins ${{{\text{F}}_{{\text{floor}}}}}$ og ${{\text{f}}}$ eru ytri kraftar sem verka á kerfi 1 eftir hreyfilínunni. Allir aðrir kraftar núllast annaðhvort út eða verka á umheiminn. Kerfi 2 er valið fyrir Dæmi 4.4 svo að ${{{\text{F}}_{{\text{prof}}}}}$ verði ytri kraftur og komi inn í annað lögmál Newtons. Athugið að kraftamyndirnar, sem gera okkur kleift að beita öðru lögmáli Newtons, breytast með völdu kerfi.

Dæmi 4.4

Aðferð

Reiknaðu kraftinn sem prófessorinn beitir á vagninn í Mynd 4.16 og notaðu gögn úr fyrra dæmi ef þörf krefur.

Strategy

Ef við skilgreinum nú kerfið sem er til skoðunar sem vagninn ásamt búnaði (kerfi 2 í Mynd 4.16), þá er ytri heildarkrafturinn á kerfi 2 sá kraftur sem prófessorinn beitir á vagninn að frádregnum núningi. Krafturinn sem hún beitir á vagninn, ${{{\text{F}}_{{\text{prof}}}}}$ , er ytri kraftur sem verkar á kerfi 2. ${{{\text{F}}_{{\text{prof}}}}}$ var innri kraftur í kerfi 1, en hann er ytri kraftur í kerfi 2 og mun koma inn í annað lögmál Newtons fyrir kerfi 2.

Lausn

Annað lögmál Newtons má nota til að finna ${{{\text{F}}_{{\text{prof}}}}}$ . Við byrjum á

${{{a = \frac{{F}_{{\text{net}}}}{m}}}}$

og athugum að stærð ytri heildarkraftsins á kerfi 2 er

${{{{F}_{{\text{net}}}={{F}_{{\text{prof}}}−f}}}},$

við leysum fyrir ${{{F}_{{\text{prof}}}}}$ , stærðina sem við leitum að:

${{{{F}_{{\text{prof}}} = {{F}_{{\text{net}}} + f .}}}}$

Gildið á ${{f}}$ er gefið, svo við verðum að reikna heildarkraftinn ${{{F}_{\text{net}}}}$ . Það er hægt þar sem bæði hröðun og massi kerfis 2 eru þekkt. Með því að nota annað lögmál Newtons sjáum við að

${{{{F}_{{\text{net}}}={\text{ma}}}}},$

þar sem massi kerfis 2 er 19,0 kg ( ${{m}}$ = 12,0 kg + 7,0 kg) og hröðun þess var fundin ${{{{a=1,5\,}{\text{m/s}}^{{2}}}}}$ í fyrra dæmi. Þannig er

${{{{F}_{{\text{net}}}={\text{ma}}}}},$

${{{{{F}_{{\text{net}}}=(}\text{19}\text{.}\text{0 kg})(1,5\, {\text{m/s}}^{{2}}{)=\text{29 N}}}}}.$

Nú getum við fundið kraftinn sem við leituðum að:

${{{{F}_{{\text{prof}}}={{F}_{{\text{net}}}+f}}}},$

${{{{{F}_{{\text{prof}}}=\text{29 N}}{+\text{24,0 N}=\text{53 N}}}}}.$

Umræða

Það er athyglisvert að þessi kraftur er umtalsvert minni en 150 N krafturinn sem prófessorinn beitti aftur á bak á gólfið. Ekki allur þessi 150 N kraftur flyst yfir á vagninn; hluti hans hraðar prófessornum.

Val á kerfi er mikilvægt greiningarskref bæði við lausn verkefna og til að skilja eðlisfræði aðstæðna til hlítar (sem er ekki endilega það sama).