4.5 Þverkraftur, spenna og önnur dæmi um krafta

Þverkraftur, spenna og önnur dæmi um krafta

Námstakmark

Í lok þessa kafla muntu geta:

Skilgreint þverkraft og spennukraft.
Beitt lögmálum Newtons um hreyfingu til að leysa verkefni sem fela í sér ýmsa krafta.
Notað hornafræðireglur til að þátta þyngd í þætti.

Kröftum eru gefin mörg nöfn, svo sem þrýstingur, tog, knýr, lyftikraftur, þyngd, núningur og spenna. Hefð er fyrir því að flokka krafta í nokkra flokka og gefa þeim nöfn sem tengjast uppruna þeirra, hvernig þeir berast eða áhrifum þeirra. Fjallað er um mikilvægustu flokkana í þessum kafla, ásamt nokkrum áhugaverðum hagnýtingum. Frekari dæmi um krafta eru rædd síðar í þessum texta.

Þverkraftur

Þyngd (e. weight) (einnig kallað þyngdarkraftur) er gegnumgangandi kraftur sem verkar ávallt og þarf að vinna gegn til að koma í veg fyrir að hlutur falli. Þú tekur örugglega eftir því að þú verður að halda uppi þyngd þungs hlutar með því að ýta honum upp á við þegar þú heldur honum kyrrum, eins og sýnt er á Mynd 4.18(a). En hvernig styðja dauðir hlutir eins og borð við þyngd massa sem er settur á þá, eins og sýnt er á Mynd 4.18(b)? Þegar pokinn með hundamatnum er settur á borðið, sígur borðið í raun örlítið undan álaginu. Þetta væri áberandi ef álagið væri sett á spilaborð, en jafnvel stífir hlutir afmyndast þegar krafti er beitt á þá. Nema hluturinn afmyndist umfram sín mörk, mun hann beita endurheimtarkrafti, svipað og afmyndaður gormur (eða trampólín eða stökkbretti). Því meiri sem afmyndunin er, því meiri er endurheimtarkrafturinn. Þannig að þegar álagið er sett á borðið, sígur borðið þar til endurheimtarkrafturinn verður jafn stór og þyngd álagsins. Á þeim tímapunkti er ytri heildarkrafturinn á álagið núll. Það er ástandið þegar álagið er kyrrt á borðinu. Borðið sígur hratt og sigið er lítið svo við tökum ekki eftir því. En það er svipað og sigið á trampólíni þegar þú klifrar upp á það.

A person is holding a bag of dog food at some height from a table. He is exerting a force F sub hand, shown by a vector arrow in upward direction, and the weight W of the bag is acting downward, shown by a vector arrow having the same length as vector F sub hand. In a free-body diagram two forces are acting on the red point; one is F sub hand, shown by a vector arrow upward, and another is the weight W, shown by a vector arrow having the same length as vector F sub hand but pointing downward. (b) The bag of dog food is on the table, which deforms due to the weight W, shown by a vector arrow downward; the normal force N is shown by a vector arrow pointing upward having the same length as W. In the free-body diagram, vector W is shown by an arrow downward and vector N is shown by an arrow having the same length as vector W but pointing upward. — Mynd 4.18 (a) Sá sem heldur á pokanum með hundamatnum verður að beita uppávið krafti ${{{\text{F}}_{{\text{hand}}}}}$ sem er jafn stór og í gagnstæða átt við þyngd matarins ${{\text{w}}}$ . (b) Spilaborðið sígur þegar hundamaturinn er settur á það, svipað og stíft trampólín. Fjaðrandi endurheimtarkraftar í borðinu vaxa þegar það sígur þar til þeir beita krafti ${{\text{N}}}$ sem er jafn stór og í gagnstæða átt við þyngd álagsins.

Við verðum að álykta að hvað sem heldur uppi álagi, hvort sem það er lifandi eða ekki, verður að beita uppávið krafti sem er jafn þyngd álagsins, eins og við gerðum ráð fyrir í nokkrum af fyrri dæmunum. Ef krafturinn sem styður álag er hornréttur á snertiflötinn milli álagsins og stuðnings þess, er þessi kraftur skilgreindur sem þverkraftur (e. normal force) og er hér gefið táknið ${{\text{N}}}$ . (Þetta er ekki einingin fyrir kraft, N.) Orðið þver- þýðir hornrétt á yfirborð. Þverkrafturinn getur verið minni en þyngd hlutarins ef hluturinn rennur eftir hallandi fleti, eins og þú munt sjá í næsta dæmi. Þverkrafturinn getur jafnvel verið stærri en þyngd hlutarins, til dæmis þegar þú stekkur upp eða, eins og við munum sjá, þegar bíll ekur í hallandi beygju.

Algengur misskilningur: Þverkraftur (N) á móti njútoni (N)

Í þessum kafla höfum við kynnt stærðina þverkraft, sem er táknuð með breytunni ${{\text{N}}}$ . Ekki má rugla þessu saman við táknið fyrir njúton, sem er einnig táknað með bókstafnum N. Það er sérstaklega mikilvægt að greina á milli þessara tákna því einingar þverkrafts ( ${{\text{N}}}$ ) eru einmitt njúton (N). Til dæmis gæti þverkrafturinn ${{\text{N}}}$ sem gólfið beitir á stól verið ${\text{N}=\text{100 N}}$ . Einn mikilvægur munur er að þverkraftur er vigur, en njúton er einfaldlega eining. Gættu þess að rugla ekki saman þessum bókstöfum í útreikningum þínum! Þú munt rekast á fleiri líkindi meðal breyta og eininga eftir því sem þú heldur áfram í eðlisfræði. Annað dæmi um þetta er stærðin vinna ( ${{W}}$ ) og einingin vött (W).

Dæmi 4.5

Lausnarleið

Lítum á skíðakonuna í brekku sem sýnd er á Mynd 4.19. Massi hennar ásamt búnaði er 60,0 kg. (a) Hver er hröðun hennar ef núningur er hverfandi? (b) Hver er hröðun hennar ef vitað er að núningur er 45,0 N? (c) Þverkrafturinn, ${\text{N}}$ , er fundinn með öðru lögmáli Newtons hornrétt á brekkuna. Þar sem ${⊥=0}$ , verður jafnan ${\text{N}-mg\text{cos}(25º)=0}$ og ${\text{N}-mg\text{cos}(25º)=(60\, \text{kg})(9,8\, {\text{m/s}}^{2})\text{cos}(25º)=532\text{N}}$ .

Strategy

Þetta er tvívítt verkefni þar sem kraftarnir sem verka á skíðamanninn (kerfið sem er til skoðunar) eru ekki samsíða. Aðferðin sem við höfum notað í tvívíðri hreyfifræði virkar líka mjög vel hér. Veldu hentugt hnitakerfi og varpaðu vigrunum á ása þess og búðu þannig til tvö tengd einvíð verkefni til að leysa. Hentugasta hnitakerfið fyrir hreyfingu á hallandi fleti er það sem hefur einn ás samsíða hallanum og einn ás hornrétt á hallann. (Mundu að hreyfingar eftir hornréttum ásum eru óháðar.) Við notum táknin ${⊥}$ og ${{{∥}}}$ til að tákna hornrétt og samsíða. Þetta val á ásum einfaldar þessa tegund verkefna því engin hreyfing er hornrétt á hallann og núningur er alltaf samsíða snertifletinum milli tveggja hluta. Einu ytri kraftarnir sem verka á kerfið eru þyngd skíðamannsins, núningur og stuðningur frá hallanum, sem eru merktir ${{\text{w}}}$ , ${{\text{f}}}$ og ${{\text{N}}}$ í Mynd 4.19. ${{\text{N}}}$ er alltaf hornréttur á hallann og ${{\text{f}}}$ er samsíða honum. En ${{\text{w}}}$ er ekki í stefnu neins áss og því er fyrsta skrefið sem við tökum að varpa honum í þætti eftir völdum ásum og skilgreina ${{{w}_{{{∥}}}}}$ sem þátt þyngdar samsíða hallanum og ${{{w}_{{⊥}}}}$ sem þátt þyngdar hornrétt á hallann. Þegar þetta er gert getum við skoðað tvö aðskilin verkefni um krafta samsíða hallanum og krafta hornrétt á hallann.

Lausn

Stærð þyngdarþáttarins samsíða hallanum er ${{{{{w}_{{{∥}}}=w\,}\text{sin}\, (\text{25ƒ}{)={mg\,}}\text{sin}\, (\text{25º})}}}$ og stærð þyngdarþáttarins hornrétt á hallann er ${{{{{w}_{{⊥}}=w\,}\text{cos}\, (\text{25º}{)={mg\,}}\text{cos}\, (\text{25º})}}}$ .

(a) Núningur er hunsaður. Þar sem hröðunin er samsíða hallanum þurfum við aðeins að skoða krafta samsíða hallanum. (Kraftar hornrétt á hallann leggjast saman og verða núll þar sem engin hröðun er í þá stefnu.) Kraftarnir samsíða hallanum eru þyngdarþáttur skíðamannsins samsíða hallanum ${{{w}_{{{∥}}}}}$ og núningur ${{f}}$ . Með því að nota annað lögmál Newtons, með neðanskriftum til að tákna stærðir samsíða hallanum,

${{{{a}_{{{∥}}} = \frac{{F}_{{{\text{net} ∥}}}}{m}}}}$

þar sem ${{{{{{F}_{{{\text{net}∥}}}={w}_{{{∥}}}}={\text{mg}}\,}\text{sin}\, (\text{25º})}}}$ , að því gefnu að enginn núningur sé í þessum hluta, þannig að

${{{a}_{{{∥}}} = \frac{{F}_{{{\text{net} ∥}}}}{m} = \frac{{{\text{mg}} \, \text{sin}\, ( \text{25º} )}}{m} = g\, \text{sin}\, ( \text{25º} )}}$ ${{( 9,80\, {\text{m/s}}^{{2}} ) ( 0,4226 ) = 4,14\, {\text{m/s}}^{{2}}}}$

er hröðunin.

(b) Með núningi. Við höfum nú gefið gildi fyrir núning og við vitum að stefna hans er samsíða hallanum og hann vinnur gegn hreyfingu milli snertiflata. Þannig að heildarytri krafturinn er nú

${{{{F}_{{{\text{net}∥}}}={{w}_{{{∥}}}−f}}}},$

og með því að setja þetta inn í annað lögmál Newtons, ${{{{a}_{{{∥}}}=\frac{{F}_{{{\text{net}∥}}}}{m}}}}$ , fæst

${{{{{{a}_{{{∥}}}=\frac{{F}_{{{\text{net}∣∣}}}}{m}}=\frac{{{w}_{{{∥}}}−f}}{m}}=\frac{{{\text{mg}\,}\text{sin}\, (\text{25º}{)−f}}}{m}}}}.$

Við setjum inn þekkt gildi til að fá

${{{{a}_{{{∥}}}=\frac{{(\text{60}\text{.}\text{0 kg})(9\text{.}{\text{80 m/s}}^{{2}})(0\text{.}\text{4226}{)−\text{45}}\text{.}\text{0 N}}}{{\text{60}\text{.}\text{0 kg}}}}}},$

sem gefur

${{{{{a}_{{{∥}}}=3}\text{.}{\text{39 m/s}}^{{2}}}}},$

sem er hröðunin samsíða hallanum þegar 45,0 N núningur vinnur gegn hreyfingunni.

Umræða

Þar sem núningur vinnur alltaf gegn hreyfingu milli flata er hröðunin minni þegar núningur er til staðar en þegar enginn er. Reyndar er það almenn niðurstaða að ef núningur á hallandi fleti er hverfandi, þá er hröðunin niður hallann ${{{{a=g\,}\text{sin}θ}}}$ , óháð massa. Þetta tengist þeirri staðreynd sem áður var rædd að allir hlutir falla með sömu hröðun ef engin loftmótstaða er. Á sama hátt renna allir hlutir, óháð massa, niður núningslausan hallandi flöt með sömu hröðun (ef hallinn er sá sami). Þverkrafturinn, ${mg\text{cos}(25°)=0}$ , er minni en þyngd hlutarins.

A skier is skiing down the slope and the slope makes a twenty-five degree angle with the horizontal. Her weight W, shown by a vector vertically downward, breaks into two components—one is W parallel, which is shown by a vector arrow parallel to the slope, and the other is W perpendicular, shown by a vector arrow perpendicular to the slope in the downward direction. Vector N is represented by an arrow pointing upward and perpendicular to the slope, having the same length as W perpendicular. Friction vector f is represented by an arrow along the slope in the uphill direction. IIn a free-body diagram, the vector arrow W for weight is acting downward, the vector arrow for f is shown along the direction of the slope, and the vector arrow for N is shown perpendicular to the slope. — Mynd 4.19 Þar sem hreyfing og núningur eru samsíða hallanum er hentugast að varpa öllum kröftum á hnitakerfi þar sem einn ás er samsíða hallanum og hinn er hornréttur (ásar sýndir vinstra megin við skíðamanninn). ${{\text{N}}}$ er hornréttur á hallann og f er samsíða hallanum, en ${{\text{w}}}$ hefur þætti eftir báðum ásum, nefnilega ${{{\text{w}}_{{⊥}}}}$ og ${{{\text{w}}_{{{∥}}}}}$ . ${{\text{N}}}$ er jafnstór og ${{{\text{w}}_{{⊥}}}}$ , þannig að engin hreyfing er hornrétt á hallann, en ${{f}}$ er minni en ${{{w}_{{{∥}}}}}$ , þannig að hröðun verður niður hallann (eftir samsíða ásnum).

Þáttun þyngdar

Mynd 4.20 Hlutur hvílir á hallandi fleti sem myndar hornið θ við láréttan flöt.

Þegar hlutur hvílir á hallandi fleti sem myndar hornið ${{θ}}$ við láréttan flöt skiptist þyngdarkrafturinn sem verkar á hlutinn í tvo þætti: kraft sem verkar hornrétt á flötinn, ${{{\text{w}}_{{⊥}}}}$ , og kraft sem verkar samsíða fletinum, ${{{\text{w}}_{{{∥}}}}}$ . Þyngdarkrafturinn hornrétt á flötinn, ${{{\text{w}}_{{⊥}}}}$ , er yfirleitt jafnstór og í gagnstæða stefnu við þverkraftinn, ${{\text{N}}}$ . Krafturinn sem verkar samsíða fletinum, ${{{\text{w}}_{{{∥}}}}}$ , veldur því að hluturinn hraðar niður hallann. Núningskrafturinn, ${{f}}$ , vinnur gegn hreyfingu hlutarins og verkar því upp eftir fletinum.

Það er mikilvægt að gæta varúðar við þáttun þyngdar hlutarins. Ef hallahornið er ${{θ}}$ miðað við láréttan flöt, þá eru stærðir þyngdarþáttanna

${{{{{w}_{{{∥}}} = w\,} \text{sin}\, ( θ {) = {\text{mg}\,}} \text{sin}\, ( θ )}}}$ ${{{{{w}_{{{∥}}} = w\,} \text{sin}\, ( θ {) = {\text{mg}\,}} \text{sin}\, ( θ )}}}$

og

${{{{{w}_{{⊥}}=w\,}\text{cos}\, (θ{)={\text{mg}}\,}\text{cos}\, (θ)}}}.$ ${{{{{w}_{{⊥}}=w\,}\text{cos}\, (θ{)={\text{mg}}\,}\text{cos}\, (θ)}}}.$

Í stað þess að leggja þessar jöfnur á minnið er gagnlegt að geta leitt þær út með rökhugsun. Til að gera það skaltu teikna réttthyrnda þríhyrninginn sem þyngdarvigrarnir þrír mynda. Taktu eftir að hallahornið ${{θ}}$ er það sama og hornið sem myndast á milli ${{\text{w}}}$ og ${{{\text{w}}_{{⊥}}}}$ . Með því að þekkja þennan eiginleika geturðu notað hornafræði til að ákvarða stærð þyngdarþáttanna:

${{\begin{aligned} \text{cos}\, ( θ ) & = & \frac{{w}_{{⊥}}}{w} \\ {w}_{{⊥}} & = & w\, \text{cos}\, ( θ {) = {\text{mg}\,}} \text{cos}\, ( θ ) \end{aligned}}}$ ${{\begin{aligned} \text{cos}\, ( θ ) & = & \frac{{w}_{{⊥}}}{w} \\ {w}_{{⊥}} & = & w\, \text{cos}\, ( θ {) = {\text{mg}\,}} \text{cos}\, ( θ ) \end{aligned}}}$

${{\begin{aligned} \text{sin}\, ( θ ) & = & \frac{{w}_{{{∥}}}}{w} \\ {w}_{{{∥}}} & = & w\, \text{sin}\, ( θ {) = {\text{mg}\,}} \text{sin}\, ( θ ) \end{aligned}}}$ ${{\begin{aligned} \text{sin}\, ( θ ) & = & \frac{{w}_{{{∥}}}}{w} \\ {w}_{{{∥}}} & = & w\, \text{sin}\, ( θ {) = {\text{mg}\,}} \text{sin}\, ( θ ) \end{aligned}}}$

Strekkikraftur

Strekkikraftur (e. tension) er kraftur eftir lengd miðils, sérstaklega kraftur sem borinn er af sveigjanlegum miðli, svo sem reipi eða kapli. Orðið „strekkikraftur“ (e. tension) kemur úr latnesku orði sem þýðir „að teygja“. Það er engin tilviljun að sveigjanlegu strengirnir sem flytja vöðvakrafta til annarra líkamshluta eru kallaðir sinar. Sérhver sveigjanlegur tengill, svo sem snæri, reipi, keðja, vír eða kapall, getur aðeins beitt togkrafti samsíða lengd sinni; þannig er kraftur sem borinn er af sveigjanlegum tengli strekkikraftur með stefnu samsíða tenglinum. Það er mikilvægt að skilja að strekkikraftur er tog í tengli. Íhugaðu aftur á móti orðatiltækið: „Þú getur ekki ýtt reipi.“ Strekkikrafturinn togar út á við meðfram báðum endum reipis.

Íhugaðu manneskju sem heldur á massa í reipi eins og sýnt er á Mynd 4.21.

An object of mass m is attached to a rope and a person is holding the rope. A weight vector W points downward starting from the lower point of the mass. A tension vector T is shown by an arrow pointing upward initiating from the hook where the mass and rope are joined, and a third vector, also T, is shown by an arrow pointing downward initiating from the hand of the person. — Mynd 4.21 Þegar fullkomlega sveigjanlegur tengill (sem krefst engra krafta til að beygja hann) eins og þetta reipi flytur kraft ${{\text{T}}}$ , verður sá kraftur að vera samsíða lengd reipisins, eins og sýnt er. Togið sem slíkur sveigjanlegur tengill beitir er strekkikraftur. Taktu eftir að reipið togar með jöfnum krafti en í gagnstæðar áttir í höndina og massann sem haldið er uppi (ef þyngd reipisins er hunsuð). Þetta er dæmi um þriðja lögmál Newtons. Reipið er miðillinn sem flytur jafna og gagnstæða krafta milli hlutanna tveggja. Strekkikrafturinn hvar sem er í reipinu á milli handarinnar og massans er jafn. Þegar þú hefur ákvarðað strekkikraftinn á einum stað hefurðu ákvarðað strekkikraftinn á öllum stöðum meðfram reipinu.

Strekkikrafturinn í reipinu verður að vera jafn þyngd massans sem haldið er uppi, eins og við getum sannað með öðru lögmáli Newtons. Ef 5,00 kg massinn á myndinni er kyrrstæður er hröðun hans núll og því ${{{{\text{F}}_{{\text{net}}}=0}}}$ . Einu ytri kraftarnir sem verka á massann eru þyngd hans ${{\text{w}}}$ og strekkikrafturinn ${{\text{T}}}$ frá reipinu. Þannig er:

þar sem ${{T}}$ og ${{w}}$ eru stærðir strekkikrafts og þyngdar og formerki þeirra gefa til kynna stefnu, þar sem upp er jákvætt hér. Þannig, eins og þú myndir búast við, er strekkikrafturinn jafn þyngd massans sem haldið er uppi:

Fyrir 5,00 kg massa sjáum við þá (ef við hunsum massa reipisins) að

Ef við klippum á reipið og setjum gorm í staðinn myndi gormurinn teygjast um lengd sem samsvarar krafti upp á 49,0 N, sem veitir beina athugun og mælingu á strekkikraftinum í reipinu.

Sveigjanlegir tenglar eru oft notaðir til að flytja krafta fyrir horn, svo sem í togkerfi á sjúkrahúsi, fingurlið eða bremsukapal á reiðhjóli. Ef enginn núningur er til staðar flyst strekkikrafturinn óskertur. Aðeins stefna hans breytist og hann er alltaf samsíða sveigjanlega tenglinum. Þetta er sýnt á Mynd 4.22 (a) og (b).

The internal structure of a finger with tendon, extensor muscle, and flexor muscle is shown. The force in the muscles is shown by arrows pointing along the tendon. In the second figure, part of a bicycle with a brake cable is shown. Three tension vectors are shown by the arrows along the brake cable, starting from the handle to the wheels. The tensions have the same magnitude but different directions. — Mynd 4.22 (a) Sinar í fingri flytja kraft ${{\text{T}}}$ frá vöðvum til annarra hluta fingursins og breyta venjulega stefnu kraftsins en ekki stærð hans (sinarnar eru tiltölulega núningslausar). (b) Bremsukapall á reiðhjóli flytur strekkikraftinn ${{\text{T}}}$ frá stýrinu til bremsubúnaðarins. Aftur breytist stefnan en ekki stærð ${{\text{T}}}$ .

Dæmi 4.6

Lausnarleið

Reiknaðu strekkikraftinn í vírnum sem heldur uppi 70,0 kg línudansaranum sem sýndur er á Mynd 4.23.

Strategy

Eins og sést á myndinni er vírinn ekki alveg láréttur (hann getur það ekki verið!), heldur svignar hann undan þunga mannsins. Þannig hefur spennan hvorum megin við manninn uppvísandi þátt sem getur borið þyngd hans. Eins og venjulega eru kraftar vigrar sem eru sýndir myndrænt með örvum sem hafa sömu stefnu og kraftarnir og lengd í hlutfalli við stærð þeirra. Kerfið er línudansarinn og einu ytri kraftarnir sem verka á hann eru þyngd hans ${{\text{w}}}$ og spennukraftarnir tveir ${{{\text{T}}_{{\text{L}}}}}$ (spenna til vinstri) og ${{{\text{T}}_{{\text{R}}}}}$ (spenna til hægri), eins og sýnt er. Það er réttlætanlegt að horfa fram hjá þyngd vírsins sjálfs. Hreinn ytri kraftur er núll þar sem kerfið er kyrrstætt. Nú má nota smá hornafræði til að finna spennukraftana. Ein ályktun er möguleg strax í upphafi — við sjáum af hluta (b) á myndinni að stærðir spennukraftanna ${{{T}_{{\text{L}}}}}$ og ${{{T}_{{\text{R}}}}}$ verða að vera jafnar. Þetta er vegna þess að engin lárétt hröðun er í línunni og einu kraftarnir sem verka til vinstri og hægri eru ${{{T}_{{\text{L}}}}}$ og ${{{T}_{{R}}}}$ . Þess vegna verður stærð þessara krafta að vera jöfn svo þeir núllist út.

Þegar við erum með tvívíð vigurverkefni þar sem engir tveir vigrar eru samsíða, er auðveldasta lausnaraðferðin að velja hentugt hnitakerfi og varpa vigrunum á ása þess. Í þessu tilfelli er besta hnitakerfið með einn láréttan ás og hinn lóðréttan. Við köllum lárétta ásinn ${{x}}$ -ás og lóðrétta ásinn ${{y}}$ -ás.

Lausn

Fyrst þurfum við að þátta spennuvigrana í lárétta og lóðrétta þætti sína. Það hjálpar að teikna nýja kraftamynd sem sýnir alla lárétta og lóðrétta þætti hvers krafts sem verkar á kerfið.

Lítum á láréttu þætti kraftanna (táknuð með lágskriftinni ${{x}}$ ):

${{{{F}_{{\text{net} x}} = {{T}_{{\text{L} x}} − {T}_{{\text{R} x}}}}}} .$

Hreinn ytri láréttur kraftur ${{{{F}_{{\text{net} x}}=0}}}$ , þar sem maðurinn er kyrrstæður. Þannig,

${{\begin{aligned} {F}_{{\text{net} x}} = 0 & = & {{T}_{{\text{L} x}} − {T}_{{\text{R} x}}} \\ {T}_{{\text{L} x}} & = & {T}_{{\text{R} x}} . \end{aligned}}}$

Skoðaðu nú Mynd 4.24. Þú getur notað hornafræði til að ákvarða stærð ${{{T}_{{\text{L}}}}}$ og ${{{T}_{{\text{R}}}}}$ . Taktu eftir að:

${{\begin{aligned} \text{cos}\, ( 5,0º {)} & = & \frac{{T}_{{\text{L} x}}}{{T}_{{\text{L}}}} \\ {T}_{{\text{L} x}} & = & {T}_{{\text{L}}}\, \text{cos}\, ( 5,0º ) \\ \text{cos}\, ( 5,0º {)} & = & \frac{{T}_{{\text{R} x}}}{{T}_{{\text{R}}}} \\ {T}_{{\text{R} x}} & = & {T}_{{\text{R}}} \, \text{cos}\, ( 5,0º ) . \end{aligned}}}$

Með því að jafna ${{{T}_{{\text{L} x}}}}$ og ${{{T}_{{\text{R}x}}}}$ :

${{{{T}_{{\text{L}}}\, \text{cos}\, (5,0º{)={T}_{{\text{R}}}}\, \text{cos}\, (5,0º)}}}.$

Þannig,

${{{{{T}_{{\text{L}}}={T}_{{\text{R}}}}=T}}},$

eins og spáð var. Nú, með því að skoða lóðréttu þættina (táknuð með lágskriftinni ${{y}}$ ), getum við leyst fyrir ${{T}}$ . Aftur, þar sem maðurinn er kyrrstæður, gefur annað lögmál Newtons í skyn að hreinn ${{{{F}_{{y}}=0}}}$ . Þannig, eins og sýnt er á kraftamyndinni í Mynd 4.24,

${{{{{F}_{{\text{net}{y}}}={{{T}_{{\text{L}{y}}}+{T}_{{\text{R}{y}}}}−w}}=0}}}.$

Með því að skoða Mynd 4.24 getum við notað hornafræði til að ákvarða sambandið milli ${{{T}_{{\text{L}{y}}}}}$ , ${{{T}_{{\text{R}{y}}}}}$ og ${{T}}$ . Eins og við ákvörðuðum úr greiningunni í láréttu stefnunni, ${{{{{T}_{{\text{L}}}={T}_{{\text{R}}}}=T}}}$ :

${{\begin{aligned} \text{sin}\, ( 5,0º ) & = & \frac{{T}_{{\text{L} {y}}}}{{T}_{{\text{L}}}} \\ {T}_{{\text{L} {y}}} = {T}_{{\text{L}}} \, \text{sin}\, ( 5,0º ) & = & T \, \text{sin}\, ( 5,0º ) \\ \text{sin}\, ( 5,0º ) & = & \frac{{T}_{{\text{R} {y}}}}{{T}_{{\text{R}}}} \\ {T}_{{\text{R} {y}}} = {T}_{{\text{R}}} \, \text{sin}\, ( 5,0º ) & = & T \, \text{sin}\, ( 5,0º ) . \end{aligned}}}$

Nú getum við sett gildin fyrir ${{{T}_{{\text{L}{y}}}}}$ og ${{{T}_{{\text{R}{y}}}}}$ inn í jöfnuna fyrir hreina kraftinn í lóðréttu stefnunni:

${{\begin{aligned} {F}_{{\text{net} {y}}} & = & {T}_{{\text{L} {y}}} + {T}_{{\text{R} {y}}} − w = 0 \\ {F}_{{\text{net} {y}}} & = & T\, \text{sin}\, ( 5,0º {) + T\,} \text{sin}\, ( 5,0º {{) − w} = 0} \\ 2\, T\, \text{sin}\, ( 5,0º {) − w} & = & 0 \\ 2\, T \, \text{sin}\, ( 5,0º ) & = & w \end{aligned}}}$

og

${{{{T=\frac{w}{{2\, \text{sin}\, (5,0º)}}}=\frac{{\text{mg}}}{{2\, \text{sin}\, (5,0º)}}}}},$

þannig að

${{{{T=\frac{{(\text{70}\text{.}\text{0 kg})(9\text{.}{\text{80 m/s}}^{{2}})}}{{2(0\text{.}\text{0872})}}}}}},$

og spennan er

${{T=\text{3900 N}}}.$

Umræða

Taktu eftir að lóðrétt spenna í vírnum virkar sem þverkraftur sem ber þyngd línudansarans. Spennan er næstum sex sinnum meiri en 686 N þyngd línudansarans. Þar sem vírinn er næstum láréttur er lóðrétti þáttur spennunnar aðeins lítið brot af spennunni í vírnum. Stóru láréttu þættirnir eru í gagnstæðar áttir og núllast út, og því er mest af spennunni í vírnum ekki notað til að bera þyngd línudansarans.

A tightrope walker is walking on a wire. His weight W is acting downward, shown by a vector arrow. The wire sags and makes a five-degree angle with the horizontal at both ends. T sub R, shown by a vector arrow, is toward the right along the wire. T sub L is shown by an arrow toward the left along the wire. All three vectors W, T sub L, and T sub R start from the foot of the person on the wire. In a free-body diagram, W is acting downward, T sub R is acting toward the right with a small inclination, and T sub L is acting toward the left with a small inclination. — Mynd 4.23 Þyngd línudansara veldur því að vír svignar um 5,0 gráður. Kerfið sem vekur áhuga hér er punkturinn á vírnum þar sem línudansarinn stendur.

A vector T sub L making an angle of five degrees with the negative x axis is shown. It has two components, one in the vertical direction, T sub L y, and another horizontal, T sub L x. Another vector is shown making an angle of five degrees with the positive x axis, having two components, one along the y direction, T sub R y, and the other along the x direction, T sub R x. In the free-body diagram, vertical component T sub L y is shown by a vector arrow in the upward direction, T sub R y is shown by a vector arrow in the upward direction, and weight W is shown by a vector arrow in the downward direction. The net force F sub y is equal to zero. In the horizontal direction, T sub R x is shown by a vector arrow pointing toward the right and T sub L x is shown by a vector arrow pointing toward the left, both having the same length so that the net force in the horizontal direction, F sub x, is equal to zero. — Mynd 4.24 Þegar vigrunum er varpað á lóðrétta og lárétta ása verða þættir þeirra meðfram þessum ásum að leggjast saman og verða núll, þar sem línudansarinn er kyrrstæður. Litla hornið veldur því að ${{T}}$ verður mun stærri en ${{w}}$ .

Ef við viljum create mjög mikla spennu þurfum við aðeins að beita krafti hornrétt á sveigjanlegan tengil, eins og sýnt er í Mynd 4.25. Eins og við sáum í síðasta dæmi virkaði þyngd línudansarans sem kraftur hornrétt á línuna. Við sáum að spennan í línunni tengdist þyngd línudansarans á eftirfarandi hátt:

Við getum útfært þessa jöfnu til að lýsa spennunni ${{T}}$ sem myndast þegar hornréttur kraftur ( ${{{\text{F}}_{{⊥}}}}$ ) verkar á miðjan sveigjanlegan tengil:

Athugið að ${{θ}}$ er hornið milli lárétta flötins og hins bogna tengils. Í þessu tilviki verður ${{T}}$ mjög stórt þegar ${{θ}}$ nálgast núll. Jafnvel tiltölulega lítill þyngd hvers kyns sveigjanlegs tengils mun valda því að hann sígur, þar sem óendanleg spenna myndi myndast ef hann væri láréttur (þ.e. ${{{θ=0}}}$ og ${{{\text{sin}{\, θ=0}}}}$ ). (Sjá Mynd 4.25.)

A car stuck in mud is being pulled out by a chain tied to a tree trunk. A force perpendicular to the length of the chain is applied, represented by an arrow. The tension T along the chain makes an angle with the horizontal line. — Mynd 4.25 Við getum myndað mjög mikla spennu í keðjunni með því að ýta á hana hornrétt á lengd hennar, eins og sýnt er. Gerum ráð fyrir að við viljum draga bíl upp úr leðju þegar enginn dráttarbíll er tiltækur. Í hvert skipti sem bíllinn færist fram á við er keðjan strekkt til að halda henni eins beinni og mögulegt er. Spennan í keðjunni er gefin með ${{{T=\frac{{F}_{{⊥}}}{{2\, \text{sin}\, (θ)}}}}}$ ; þar sem ${{θ}}$ er lítið er ${{T}}$ mjög stórt. Þetta ástand er hliðstætt línudansaranum sem sýndur er í Mynd 4.23, nema hvað spennan sem hér er sýnd er sú sem flyst yfir á bílinn og tréð frekar en sú sem verkar á punktinum þar sem ${{{\text{F}}_{{⊥}}}}$ er beitt.

A picture of the Golden Gate Bridge, which includes cables that drop from tall towers. The picture also includes a walkway barrier consisting of chains hung between vertical structures. — Mynd 4.26 Nema beitt sé óendanlegri spennu mun sérhver sveigjanlegur tengill — eins og keðjan neðst á myndinni — síga undan eigin þunga og mynda einkennandi feril þegar þyngdin dreifist jafnt eftir lengdinni. Hengibrýr — eins og Golden Gate-brúin sem sýnd er á þessari mynd — eru í raun mjög þungir sveigjanlegir tenglar. Þyngd brúarinnar dreifist jafnt eftir lengd sveigjanlegra tengla, yfirleitt kapla, sem taka á sig einkennandi lögun. (heimild: Leaflet, Wikimedia Commons)

Viðbótarefni: Raunverulegir kraftar og tregðukerfi

Til viðbótar við þær tegundir sem þegar hafa verið nefndar er annar greinarmunur á kröftum. Sumir kraftar eru raunverulegir en aðrir ekki. Raunverulegir kraftar eru þeir sem hafa einhvern eðlisfræðilegan uppruna, svo sem þyngdarkraftur. Aftur á móti eru sýndarkraftar þeir sem verða til einfaldlega vegna þess að áhorfandi er í hröðunarviðmiðunarkerfi, svo sem kerfi sem snýst (eins og hringekja) eða verður fyrir línulegri hröðun (eins og bíll sem hægir á sér). Til dæmis, ef gervihnöttur stefnir beint í norður yfir norðurhveli jarðar, mun áhorfanda á jörðinni virðast sem hann verði fyrir krafti til vesturs sem hefur engan eðlisfræðilegan uppruna. Það sem er auðvitað að gerast er að jörðin snýst í austur og færist til austurs undir gervihnettinum. Í viðmiðunarkerfi jarðar lítur þetta út eins og kraftur til vesturs á gervihnöttinn, eða það má túlka það sem brot á fyrsta lögmáli Newtons (tregðulögmálinu). Tregðuviðmiðunarkerfi (e. inertial frame of reference) er kerfi þar sem allir kraftar eru raunverulegir og, á sama hátt, kerfi þar sem lögmál Newtons hafa þau einföldu form sem gefin eru í þessum kafla.

Snúningur jarðar er nógu hægur til að jörðin sé næstum því tregðukerfi. Yfirleitt þarf að gera nákvæmar tilraunir til að sjá sýndarkrafta og smávægileg frávik frá lögmálum Newtons, svo sem áhrifin sem lýst var. Á stórum skala, eins og við snúning veðurkerfa og hafstrauma, er auðvelt að sjá áhrifin.

Lykilatriðið við að ákvarða hvort viðmiðunarkerfi sé tregðukerfi er hvort það hraðar sér eða snýst miðað við þekkt tregðukerfi. Nema annað sé tekið fram eru öll fyrirbæri sem rædd eru í þessum texta skoðuð í tregðukerfum.

Allir kraftar sem ræddir eru í þessum kafla eru raunverulegir kraftar, en það eru ýmsir aðrir raunverulegir kraftar, svo sem lyftikraftur og þrýstikraftur, sem ekki eru ræddir í þessum kafla. Þeir eru sértækari og það er ekki nauðsynlegt að ræða allar tegundir krafta. Það er þó eðlilegt að spyrja hvar einfaldleikinn sem við leitum að í eðlisfræðinni sé að finna í hinum langa lista krafta. Eru sumir grundvallaratriði en aðrir? Eru sumir mismunandi birtingarmyndir sama undirliggjandi krafts? Svarið við báðum spurningum er já, eins og sést í næsta (viðbótar) kafla og í umfjöllun um nútímaeðlisfræði síðar í textanum.