Kafli 4 - Verkefni og dæmi

Verkefni og dæmi

4.3 Annað lögmál Newtons um hreyfingu: Hugtakið kerfi

Þú mátt gera ráð fyrir að gögn sem tekin eru af myndum séu nákvæm með þremur markverðum stöfum.

63,0 kg spretthlaupari byrjar keppni með hröðunina ${{{4\text{.}\text{20 m}{\text{/s}}^{{2}}}}}$ . Hver er heildarytrikrafturinn sem verkar á hann?

Ef spretthlauparinn úr fyrra dæmi hefur þessa hröðun í 20 m og heldur síðan þeim hraða það sem eftir er af 100 metra hlaupinu, hver verður tími hans í hlaupinu?

Ræstingarmaður ýtir 4,50 kg þvottakörfu á þann hátt að heildarytrikrafturinn á hana er 60,0 N. Reiknaðu stærð hröðunar hennar.

Þar sem geimfarar á sporbaug virðast þyngdarlausir þarf snjalla aðferð til að mæla massa þeirra til að fylgjast með massabreytingum og aðlaga mataræði. Ein leið til þess er að beita þekktum krafti á geimfara og mæla hröðunina sem myndast. Gerum ráð fyrir að beitt sé heildarytrikrafti upp á 50,0 N og hröðun geimfarans mælist ${{{0\text{.}{\text{893 m/s}}^{{2}}}}}$ . (a) Reiknaðu massa hans. (b) Með því að beita krafti á geimfarann verkar jafnstór og gagnstæður kraftur á farið sem hann er í. Ræddu hvernig þetta myndi hafa áhrif á mælingu á hröðun geimfarans. Leggðu til aðferð þar sem komist er hjá bakslagi farsins.

Í Mynd 4.13 er heildarytrikrafturinn á 24 kg sláttuvélina sagður vera 51 N. Ef núningskrafturinn sem vinnur gegn hreyfingunni er 24 N, hvaða krafti ${{F}}$ (í njútonum) beitir manneskjan á sláttuvélina? Gerum ráð fyrir að sláttuvélin hreyfist á 1,5 m/s þegar krafturinn ${{F}}$ er fjarlægður. Hversu langt fer sláttuvélin áður en hún stöðvast?

Sami eldflaugasleði og sýndur er á Mynd 4.10 er hægður með hröðuninni ${{{1{\text{96 m/s}}^{{2}}}}}$ . Hvaða kraft þarf til að framkalla þessa hraðaminnkun? Gerum ráð fyrir að slökkt sé á eldflaugunum. Massi kerfisins er 2100 kg.

A sled is shown with four rockets. Friction force is represented by an arrow labeled as vector f pointing toward the left on the sled. Weight of the sled is represented by an arrow labeled as vector W, shown pointing downward, and normal force is represented by an arrow labeled as vector N having the same length as W acting upward on the sled.

(a) Ef eldflaugasleðinn sem sýndur er á Mynd 4.11 byrjar með aðeins eina eldflaug í gangi, hver er stærð hröðunar hans? Gerum ráð fyrir að massi kerfisins sé 2100 kg, þrýstikrafturinn T sé ${2,59\times {10}^{4}}$ N og núningskrafturinn sem vinnur gegn hreyfingunni sé 650 N. (b) Hvers vegna er hröðunin ekki einn fjórði af því sem hún er þegar allar eldflaugar eru í gangi?

A sled is shown with thrust represented by a vector T pushing the sled toward the right. Friction force is represented by an arrow labeled as vector f pointing toward the left on the sled. The weight of the sled is represented by an arrow labeled as vector W, shown pointing downward, and the normal force is represented by an arrow labeled as vector N having the same length as W acting upward on the sled.

Hver er hraðaminnkun eldflaugasleðans ef hann stöðvast á 1,1 s af hraðanum 1000 km/klst? (Slík hraðaminnkun olli því að einn prófunaraðili missti meðvitund og fékk tímabundna blindu.)

Gerum ráð fyrir að tvö börn ýti lárétt, en í nákvæmlega gagnstæðar áttir, á þriðja barn í kerru. Fyrra barnið beitir kraftinum 75,0 N, seinna barnið kraftinum 90,0 N, núningur er 12,0 N og massi þriðja barnsins ásamt kerru er 23,0 kg. Hvað er kerfið sem vekur áhuga ef reikna á hröðun barnsins í kerrunni? Teiknaðu kraftamynd sem sýnir alla krafta sem verka á kerfið. Reiknaðu hröðunina. Hver væri hröðunin ef núningurinn væri 15,0 N?

What is the system of interest if the acceleration of the child in the wagon is to be calculated?
Draw a free-body diagram, including all forces acting on the system.
Calculate the acceleration.
What would the acceleration be if friction were 15.0 N?

Öflugt mótorhjól getur framkallað hröðunina ${{{3,50\, {\text{m/s}}^{{2}}}}}$ á meðan það ferðast á 90,0 km/klst. Á þeim hraða eru heildarkraftar sem vinna gegn hreyfingunni, þar með talið núningur og loftmótstaða, 400 N. (Loftmótstaða er hliðstæð loftnúningi. Hún vinnur alltaf gegn hreyfingu hlutar.) Hver er stærð kraftsins sem mótorhjólið beitir aftur á bak á jörðina til að framkalla hröðun sína ef massi mótorhjólsins með ökumanni er 245 kg?

Eldflaugasleðinn sem sýndur er á Mynd 4.12 hefur hröðunina ${{{49,0\, {\text{m/s}}^{{2}}}}}$ . Farþegi hans hefur massann 75,0 kg. (a) Reiknaðu lárétta þátt kraftsins sem sætið beitir á líkama hans. Berðu þetta saman við þyngd hans með því að nota hlutfall. (b) Reiknaðu stefnu og stærð heildarkraftsins sem sætið beitir á líkama hans.

A sled is shown with four rockets. Friction force is represented by an arrow labeled as vector f pointing toward the left on the sled. The weight of the sled is represented by an arrow labeled as vector W, shown pointing downward, and the normal force is represented by an arrow labeled as vector N having the same length as W acting upward on the sled.

Endurtaktu fyrri dæmið fyrir aðstæður þar sem eldflaugasleðinn hægir á sér með hröðun ${{{2{\text{01 m/s}}^{{2}}}}}$ . Í þessu dæmi eru kraftarnir frá sætinu og öryggisbeltunum.

Þyngd geimfara ásamt geimbúningi hans á tunglinu er aðeins 250 N. Hversu mikið vegur hann á jörðinni? Hver er massi hans á tunglinu? Á jörðinni?

Gerum ráð fyrir að massi fullhlaðinnar lendingareiningar sem geimfarar nota til að taka á loft frá tunglinu sé 10.000 kg. Átak hreyflanna er 30.000 N. (a) Reiknaðu stærð hröðunar hennar í lóðréttu flugtaki frá tunglinu. (b) Gæti hún tekið á loft frá jörðinni? Ef ekki, hvers vegna ekki? Ef hún gæti það, reiknaðu stærð hröðunar hennar.

4.4 Þriðja lögmál Newtons um hreyfingu: Samhverfa í kröftum

Hvaða ytri heildarkraftur verkar á 1100 kg stórskotagagnskot sem skotið er úr herskipi ef skotinu er hraðað um ${{{2\text{.}\text{40}×{\text{10}}^{{4}}\, {\text{m/s}}^{{2}}}}}$ ? Hver er stærð kraftsins sem stórskotagagnskotið beitir á skipið?

Andstæðingur er að ýta ruðningsleikmanni aftur á bak með krafti 800 N. Massi leikmannsins sem er að tapa ásamt búnaði er 90,0 kg og hann hraðar sér um ${{{1\text{.}\text{20}\, {\text{m/s}}^{{2}}}}}$ aftur á bak. (a) Hver er núningskrafturinn milli fóta leikmannsins sem er að tapa og grassins? (b) Hvaða krafti beitir leikmaðurinn sem er að vinna á jörðina til að hreyfa sig áfram ef massi hans ásamt búnaði er 110 kg? (c) Teiknaðu skissu af aðstæðunum sem sýnir athugunarkerfið sem notað er til að leysa hvern hluta. Fyrir þessar aðstæður, teiknaðu kraftamynd og skrifaðu jöfnu heildarkraftsins.

4.5 Þverkraftur, spenna og önnur dæmi um krafta

Tvö lið með níu meðlimum í hvoru keppa í reiptogi. Hver meðlimur fyrra liðsins hefur meðalmassa 68 kg og beitir að meðaltali 1350 N krafti lárétt. Hver meðlimur seinna liðsins hefur meðalmassa 73 kg og beitir að meðaltali 1365 N krafti lárétt. (a) Hver er stærð hröðunar liðanna tveggja? (b) Hver er spennan í þeim hluta reipisins sem er á milli liðanna?

Hvaða kraft þarf trampólín að beita á 45,0 kg fimleikakonu til að gefa henni hröðun beint upp á ${{{7\text{.}{\text{50 m/s}}^{{2}}}}}$ ? Athugið að svarið er óháð hraða fimleikakonunnar – hún getur verið á hreyfingu upp eða niður, eða verið kyrr.

(a) Reiknaðu spennuna í lóðréttum þræði kóngulóarvefs ef kónguló með massann ${{{8\text{.}{\text{00}×{\text{10}}^{{{−5}}}}\, \text{kg}}}}$ hangir hreyfingarlaus á honum. (b) Reiknaðu spennuna í láréttum þræði kóngulóarvefs ef sama kónguló situr hreyfingarlaus í miðjunni, svipað og línudansarinn á Mynd 4.23. Þráðurinn sígur og myndar ${{{\text{12º}}}}$ horn fyrir neðan lárétta línu. Berðu þetta saman við spennuna í lóðrétta þræðinum (finndu hlutfall þeirra).

Gerum ráð fyrir að 60,0 kg fimleikamaður klifri upp reipi. (a) Hver er spennan í reipinu ef hann klifrar á jöfnum hraða? (b) Hver er spennan í reipinu ef hann hraðar sér upp á við með hröðuninni ${{{1\text{.}{\text{50 m/s}}^{{2}}}}}$ ?

Sýndu fram á, eins og fram kemur í textanum, að krafturinn ${{{\text{F}}_{{⊥}}}}$ sem verkar á sveigjanlegan miðil í miðju hans og hornrétt á lengd hans (eins og á línuna í Mynd 4.23) veldur spennu að stærðinni ${{{T=\frac{{F}_{{⊥}}}{{2\, \text{sin}\, (θ)}}}}}$ .

Líttu á barnið sem er verið að vigta í Mynd 4.31. (a) Hver er massi barnsins og körfunnar ef vigtin sýnir 55 N? (b) Hver er spennan ${{{T}_{{1}}}}$ í snúrunni sem festir barnið við vigtina? (c) Hver er spennan ${{{T}_{{2}}}}$ í snúrunni sem festir vigtina við loftið, ef vigtin hefur massa 0,500 kg? (d) Teiknaðu skissu af aðstæðunum sem sýnir kerfið sem er til skoðunar og notað er til að leysa hvern hluta. Massi snúranna er hverfandi.

A vertical spring scale measuring the weight of a baby is shown. The scale is hung from the ceiling by a cord. The weight W of the baby is shown by a vector arrow acting downward and tension T sub one acting in the cord is shown by an arrow upward. The tension in the cord T sub two attached to the ceiling is represented by an arrow upward from the spring scale and downward from the ceiling. — Mynd 4.31 Barn er vigtað með gormavigt.

4.6 Lausn vandamála

${{{5\text{.}{\text{00}×{\text{10}}^{{5}}}\text{-kg}}}}$ eldflaug hraðar sér beint upp. Hreyflar hennar framleiða ${{{1\text{.}{\text{250}×{\text{10}}^{{7}}\,}\text{N}}}}$ af knýtikrafti og loftmótstaðan er ${{{4\text{.}{\text{50}×{\text{10}}^{{6}}}\, \text{N}}}}$ . Hver er hröðun eldflaugarinnar? Sýndu sérstaklega hvernig þú fylgir skrefunum í aðferðafræði við lausn verkefna fyrir hreyfilögmál Newtons.

Hjól meðalstórs bíls beita 2100 N krafti aftur á veginn til að hraða bílnum í framstefnu. Ef núningskrafturinn, að meðtalinni loftmótstöðu, er 250 N og hröðun bílsins er ${{{1\text{.}{\text{80 m/s}}^{{2}}}}}$ , hver er massi bílsins ásamt farþegum? Sýndu sérstaklega hvernig þú fylgir skrefunum í aðferðafræði við lausn verkefna fyrir hreyfilögmál Newtons. Fyrir þessar aðstæður skaltu teikna kraftamynd og skrifa heildarkraftsjöfnuna.

Reiknaðu kraftinn sem 70,0 kg hástökkvari verður að beita á jörðina til að framkalla hröðun upp á við sem er 4,00 sinnum þyngdarhröðunin. Sýndu sérstaklega hvernig þú fylgir skrefunum í aðferðafræði við lausn verkefna fyrir hreyfilögmál Newtons.

Þegar 40,0 kg fimleikakona lendir eftir stórfenglega heljarstökk dregur hún úr hraða með því að ýta beint niður á dýnuna. Reiknaðu kraftinn sem hún verður að beita ef hraðaminnkun hennar er 7,00 sinnum þyngdarhröðunin. Sýndu sérstaklega hvernig þú fylgir skrefunum í aðferðafræði við lausn verkefna fyrir hreyfilögmál Newtons.

Flutningalest samanstendur af tveimur $8,00 × {10}^{4} \text{-kg}$ eimreiðum og 45 vögnum með meðalmassa $5,50 × {10}^{4}\, \text{kg}$ . (a) Hvaða krafti verður hvor eimreið að beita aftur á teinana til að hraða lestinni um ${{{5,00{×{\text{10}}^{{\text{–2}}}}\, {\text{m/s}}^{{2}}}}}$ ef núningskrafturinn er ${{{7\text{.}{\text{50}×{\text{10}}^{{5}}}\, \text{N}}}}$ , að því gefnu að eimreiðarnar beiti eins kröftum? Þetta er ekki stór núningskraftur fyrir svo massamikið kerfi. Veltinúningur fyrir lestir er lítill og þar af leiðandi eru lestir mjög orkunýtnir flutningsmáta. (b) Hver er krafturinn í tengingunni milli 37. og 38. vagnsins (þetta er krafturinn sem hvor beitir á hinn), að því gefnu að allir vagnar hafi sama massa og að núningur dreifist jafnt á alla vagna og eimreiðar?

Farþegaflugvélum er stundum ýtt frá farþegasvæðinu með dráttarvél. (a) 1800 kg dráttarvél beitir ${{{1\text{.}{\text{75}×{\text{10}}^{{4}}}\, \text{N}}}}$ krafti aftur á malbikið og kerfið verður fyrir kröftum sem standa gegn hreyfingu og nema samtals 2400 N. Ef hröðunin er ${{{0\text{.}{\text{150 m/s}}^{{2}}}}}$ , hver er massi flugvélarinnar? (b) Reiknaðu kraftinn sem dráttarvélin beitir á flugvélina, að því gefnu að 2200 N af núningnum verki á flugvélina. (c) Teiknaðu tvær skissur sem sýna kerfin sem um ræðir og notuð eru til að leysa hvorn hluta, þar með talið kraftamyndir fyrir hvort um sig.

1100 kg bíll dregur bát á kerru. (a) Hver er heildarkrafturinn sem vinnur gegn hreyfingu bílsins, bátsins og kerrunnar ef bíllinn beitir 1900 N krafti á veginn og framkallar hröðun upp á ${{{0\text{.}{\text{550 m/s}}^{{2}}}}}$ ? Massi bátsins og kerrunnar er 700 kg. (b) Hver er krafturinn í dráttarbeislinu milli bílsins og kerrunnar ef 80% af viðnámskröftunum verka á bátinn og kerruna?

(a) Finndu stærðir kraftanna ${{{\text{F}}_{{1}}}}$ og ${{{\text{F}}_{{2}}}}$ sem leggjast saman og mynda heildarkraftinn ${{{\text{F}}_{{\text{tot}}}}}$ sem sýndur er á Mynd 4.33. Þetta má gera annaðhvort með myndrænni framsetningu eða með hornafræði. (b) Sýndu með myndrænni framsetningu að sami heildarkraftur fæst óháð því í hvaða röð ${{{\text{F}}_{{1}}}}$ og ${{{\text{F}}_{{2}}}}$ er lagt saman. (c) Finndu stefnu og stærð annars vigurpars sem leggst saman og gefur ${{{\text{F}}_{\text{tot}}}}$ . Teiknaðu þá í réttum hlutföllum á sömu teikningu og notuð var í lið (b) eða á svipaða mynd.

A right triangle is shown made up of three vectors. The first vector, F sub one, is along the triangle’s base toward the right; the second vector, F sub two, is along the perpendicular side pointing upward; and the third vector, F sub tot, is along the hypotenuse pointing up the incline. The magnitude of F sub tot is twenty newtons. In a free-body diagram, F sub one is shown by an arrow pointing right and F sub two is shown by an arrow acting vertically upward.

Tvö börn draga þriðja barnið á snjóþotu með því að beita kröftunum ${\text{F}}_{1}$ og ${\text{F}}_{2}$ eins og sýnt er að ofan á Mynd 4.34. Finndu hröðun kerfisins sem samanstendur af 49,00 kg snjóþotunni og barninu. Athugaðu að stefna núningskraftsins er ótilgreind; hún verður í gagnstæða átt við summu ${\text{F}}_{1}$ og ${\text{F}}_{2}$ .

An overhead view of a child sitting on a snow saucer sled. Two forces, F sub one equal to ten newtons and F sub two equal to eight newtons, are acting toward the right. F sub one makes an angle of forty-five degrees from the x axis and F sub two makes an angle of thirty degrees from the x axis in a clockwise direction. A friction force f is equal to seven point five newtons, shown by a vector pointing in negative x direction. In the free-body diagram, F sub one and F sub two are shown by arrows toward the right, making a forty-five degree angle above the horizontal and a thirty-degree angle below the horizontal respectively. The friction force f is shown by an arrow along the negative x axis. — Mynd 4.34 Mynd að ofan sem sýnir lárétta krafta sem verka á snjóþotu barns.

Gerum ráð fyrir að bíllinn þinn hafi fest sig í drullu og þú viljir nota aðferðina sem sýnd er á Mynd 4.35 til að losa hann. (a) Hvaða kraft þyrftir þú að beita hornrétt á miðju kaðalsins til að mynda 12.000 N kraft á bílinn ef hornið er 2,00°? Í þessum hluta skaltu sýna sérstaklega hvernig þú fylgir skrefunum í aðferðafræðinni til lausnar vandamála fyrir lögmál Newtons um hreyfingu. (b) Raunverulegir kaðlar teygjast undir slíkum kröftum. Hvaða kraftur yrði beitt á bílinn ef hornið eykst í 7,00° og þú beitir ennþá sama krafti og þú fannst í (a) hluta á miðju hans?

An overhead view shows a car stuck in mud being pulled out by a rope tied to a tree trunk. Forces T are applied along the rope, with a perpendicular force F1 shown in the middle, creating angles theta.

Hvaða krafti er beitt á tönnina á Mynd 4.36 ef spennan í vírnum er 25,0 N? Athugaðu að krafturinn sem beitt er á tönnina er minni en spennan í vírnum, en þetta er nauðsynlegt vegna hagnýtra takmarkana á því hvernig hægt er að beita krafti í munni. Sýndu sérstaklega hvernig þú fylgir skrefunum í aðferðafræðinni til lausnar vandamála fyrir lögmál Newtons um hreyfingu.

Cross-section of jaw with sixteen teeth is shown. Braces are along the outside of the teeth. Three forces are acting on the protruding tooth. A force, T, is shown by an arrow making an angle of fifteen degrees below the positive x axis, and a second force, T, is shown by an arrow making an angle of fifteen degrees below the negative x axis. — Mynd 4.36 Tannréttingar eru notaðar til að beita kröftum á tennur til að rétta þær af. Á þessari mynd sést spennan sem vírinn beitir á tönnina sem stendur út. Heildarkrafturinn sem vírinn beitir á tönnina, ${{{\text{F}}_{{\text{app}}}}}$ , vísar beint aftur í munninn.

Mynd 4.37 sýnir Ofurhetju og Trausta aðstoðarmann hanga hreyfingarlausa í kaðli. Massi Ofurhetjunnar er 90,0 kg, en massi Trausta aðstoðarmannsins er 55,0 kg og massi kaðalsins er hverfandi. (a) Teiknaðu kraftamynd af aðstæðunum sem sýnir alla krafta sem verka á Ofurhetjuna, Trausta aðstoðarmanninn og kaðalinn. (b) Finndu spennuna í kaðlinum fyrir ofan Ofurhetjuna. (c) Finndu spennuna í kaðlinum milli Ofurhetjunnar og Trausta aðstoðarmannsins. Merktu á kraftamyndina þína hvaða kerfi er til skoðunar við lausn hvers hluta.

Two caped superheroes hang on a rope suspended vertically from a bar. — Mynd 4.37 Ofurhetja og Trausti aðstoðarmaður hanga hreyfingarlausir í kaðli á meðan þeir reyna að átta sig á því hvað eigi að gera næst. Verður spennan sú sama alls staðar í kaðlinum?

Hjúkrunarfræðingur ýtir kerru með því að beita krafti á handfangið með horninu ${{{\text{35,0º}}}}$ niður á við miðað við lárétt. Hlaðin kerran hefur massa 28,0 kg og núningskrafturinn er 60,0 N. (a) Teiknaðu kraftamynd fyrir kerfið sem er til skoðunar. (b) Hvaða kraft verður hjúkrunarfræðingurinn að beita til að hreyfa kerruna á jöfnum hraða?

Búðu til þitt eigið dæmi. Íhugaðu spennuna í lyftuvír á meðan lyftan fer af stað úr kyrrstöðu og hraðar farmi sínum upp í ákveðinn ferðahraða. Taktu lyftuna og farm hennar sem kerfið sem er til skoðunar og teiknaðu kraftamynd. Reiknaðu síðan spennuna í vírnum. Meðal þess sem þarf að hafa í huga er massi lyftunnar og farms hennar, lokahraði og tíminn sem það tekur að ná þeim hraða.

Búðu til þitt eigið dæmi. Íhugaðu tvær manneskjur sem ýta snjósleða með fjórum börnum upp snævi þakta brekku. Búðu til dæmi þar sem þú reiknar hröðun sleðans og farms hans. Láttu fylgja með kraftamynd af viðeigandi kerfi sem er til skoðunar sem grundvöll fyrir greiningu þinni. Sýndu kraftavigra og þætti þeirra og útskýrðu valið á hnitakerfi. Meðal þess sem þarf að hafa í huga eru kraftarnir sem þeir sem ýta beita, halli brekkunnar og massi sleðans og barnanna.

Óraunhæfar niðurstöður (a) Endurtaktu æfingu 4.77, en gerðu ráð fyrir að hröðun upp á ${{{1\text{.}{\text{20 m/s}}^{{2}}}}}$ verði til. (b) Hvað er óraunhæft við niðurstöðuna? (c) Hver er forsendan sem er óraunhæf og hvers vegna er hún óraunhæf?

Óraunhæfar niðurstöður (a) Hver er upphafshröðun eldflaugar sem hefur massa ${{{1\text{.}{\text{50}×{\text{10}}^{{6}}}\, \text{kg}}}}$ við flugtak og hreyflar hennar framleiða þrýstikraft upp á ${{{2\text{.}{\text{00}×{\text{10}}^{{6}}}\, \text{N}}}}$ ? Ekki vanrækja þyngdarkraftinn. (b) Hvað er óraunhæft við niðurstöðuna? (Þessi niðurstaða hefur óviljandi fengist í nokkrum raunverulegum eldflaugum.) (c) Hvaða forsenda er óraunhæf eða hvaða forsendur eru ósamrýmanlegar? (Þér gæti þótt gagnlegt að bera þetta dæmi saman við eldflaugadæmið fyrr í þessum kafla.)

4.7 Frekari notkun á lögmálum Newtons um hreyfingu

Fló stekkur með því að beita kraftinum ${{{1\text{.}{\text{20}×{\text{10}}^{{{−5}}}}\, \text{N}}}}$ beint niður á jörðina. Gola sem blæs á flóna samsíða jörðu beitir kraftinum ${{{0\text{.}{\text{500}×{\text{10}}^{{{−6}}}}\, \text{N}}}}$ á flóna. Finndu stefnu og stærð hröðunar flónnar ef massi hennar er ${{{6\text{.}{\text{00}×{\text{10}}^{{{−7}}}}\, \text{kg}}}}$ . Ekki vanrækja þyngdarkraftinn.

Tveir vöðvar aftan á fæti toga upp á hásinina, eins og sýnt er á Mynd 4.42. (Þessir vöðvar eru kallaðir miðlægur og hliðlægur haus tvíhöfða kálfavöðva.) Finndu stærð og stefnu heildarkraftsins á hásinina. Hvers konar hreyfingu gæti þessi kraftur valdið?

An Achilles tendon is shown in the figure with two forces acting upward, one at an angle of plus twenty degrees, one at minus twenty degrees. F sub one, equal to two hundred newtons, is shown by a vector making an angle twenty degrees toward the right with the vertical, and F sub two, equal to two hundred newtons, is shown making an angle of twenty degrees left from the vertical. — Mynd 4.42 Hásin

Verið er að draga 76,0 kg manneskju frá brennandi byggingu eins og sýnt er á Mynd 4.43. Reiknaðu spennuna í kaðlunum tveimur ef manneskjan er kyrr um stundarsakir. Láttu kraftalínurit fylgja með í lausninni.

A lady is being pulled away from a burning building using a rope. She is in the middle of the rope; her weight is shown by a vector acting vertically downward. Tension, T sub one, acts upward through the left side of the rope, making an angle of fifteen degrees with the vertical. Tension T sub two acts through the right side of the rope, making an angle of ten degrees above the positive x axis. — Mynd 4.43 Krafturinn ${{{\text{T}}_{{2}}}}$ sem þarf til að halda manneskjunni, sem verið er að bjarga úr eldinum, stöðugri er minni en þyngd hennar og minni en krafturinn ${{{\text{T}}_{{1}}}}$ í hinum kaðlinum, þar sem lóðréttari kaðallinn ber meiri hluta af þyngd hennar (lóðréttur kraftur).

Samþætt hugtök: 35,0 kg höfrungur hægir á sér úr 12,0 í 7,50 m/s á 2,30 s til að slást í leik með öðrum höfrungi. Hver var meðalkrafturinn sem beitt var til að hægja á honum ef hann hreyfðist lárétt? (Þyngdarkrafturinn er jafnaður út af uppdrifskrafti vatnsins.)

Samþætt hugtök: Þegar 70,0 kg spretthlaupari hefur keppni beitir hann meðalkraftinum 650 N aftur á bak á jörðina í 0,800 s. (a) Hver er lokahraði hans? (b) Hversu langt fer hann?

Samþætt hugtök: Stór eldflaug hefur massa ${{{2\text{.}{\text{00}×{\text{10}}^{{6}}}\, \text{kg}}}}$ við flugtak og hreyflar hennar framleiða þrýstikraft upp á ${{{3\text{.}{\text{50}×{\text{10}}^{{7}}}\, \text{N}}}}$ . (a) Finndu upphafshröðun hennar ef hún tekur á loft lóðrétt. (b) Hversu langan tíma tekur það að ná hraðanum 120 km/klst beint upp, að því gefnu að massi og þrýstikraftur séu stöðugir? (c) Í raun minnkar massi eldflaugar verulega þegar eldsneyti hennar er notað. Lýstu eigindlega hvernig þetta hefur áhrif á hröðun og tíma fyrir þessa hreyfingu.

Samþætt hugtök: Körfuboltamaður stekkur beint upp eftir bolta. Til þess lækkar hann líkama sinn um 0,300 m og hraðar sér síðan yfir þessa vegalengd með því að rétta kröftuglega úr fótunum. Leikmaðurinn yfirgefur gólfið með lóðréttum hraða sem er nægur til að bera hann 0,900 m yfir gólfið. (a) Reiknaðu hraða leikmannsins þegar hann yfirgefur gólfið. (b) Reiknaðu hröðun hans á meðan hann réttir úr fótunum. Hann fer úr núlli í hraðann sem fannst í hluta (a) yfir vegalengdina 0,300 m. (c) Reiknaðu kraftinn sem hann beitir á gólfið til að gera þetta, að því gefnu að massi hans sé 110 kg.

Samþætt hugtök: 2,50 kg flugeldasprengju er skotið beint upp úr steypuhræru og hún nær 110 m hæð. (a) Reiknaðu hraða sprengjunnar þegar hún yfirgefur steypuhræruna, án tillits til loftmótstöðu (slæm forsenda, en við gerum hana fyrir þetta dæmi). (b) Steypuhræran sjálf er 0,450 m löng pípa. Reiknaðu meðalhröðun sprengjunnar í pípunni þegar hún fer úr núlli í hraðann sem fannst í (a). (c) Hver er meðalkrafturinn á sprengjuna í steypuhrærunni? Gefðu svarið upp í njútonum og sem hlutfall af þyngd sprengjunnar.

Samþætt hugtök: Endurtaktu æfingu 4.100 fyrir sprengju sem skotið er undir horninu ${{{\text{10,0º}}}}$ frá lóðréttu.

Samþætt hugtök: Lyfta full af farþegum hefur massa 1700 kg. (a) Lyftan hraðar sér upp úr kyrrstöðu með hraðanum ${{{1\text{.}{\text{20 m/s}}^{{2}}}}}$ í 1,50 s. Reiknaðu spennuna í burðarvír lyftunnar. (b) Lyftan heldur áfram upp á við með stöðugum hraða í 8,50 s. Hver er spennan í vírnum á þessum tíma? (c) Lyftan hægir á sér með hraðaminnkun ${{{0\text{.}{\text{600 m/s}}^{{2}}}}}$ í 3,00 s. Hver er spennan í vírnum við hraðaminnkunina? (d) Hversu hátt hefur lyftan færst frá upphaflegum stað og hver er lokahraði hennar?

Óraunhæfar niðurstöður (a) Hver er lokahraði bíls sem upphaflega ferðast á 50,0 km/klst og dregur úr hraða með hröðuninni ${{{0\text{.}{\text{400 m/s}}^{{2}}}}}$ í 50,0 s? (b) Hvað er óraunhæft við niðurstöðuna? (c) Hvaða forsenda er óraunhæf eða hvaða forsendur eru ósamrýmanlegar?

Óraunhæfar niðurstöður 75,0 kg maður stendur á baðvog í lyftu sem hraðar sér úr kyrrstöðu í 30,0 m/s á 2,00 s. (a) Reiknaðu mælingu vogarinnar í njútonum og berðu hana saman við þyngd hans. (Vogin beitir uppávið krafti á hann sem er jafn mælingunni.) (b) Hvað er óraunhæft við niðurstöðuna? (c) Hvaða forsenda er óraunhæf eða hvaða forsendur eru ósamrýmanlegar?

4.8 Ítarefni: Inngangur að grunnkröftunum fjórum

(a) Hver er styrkur veika kjarnakraftsins miðað við sterka kjarnakraftinn? (b) Hver er styrkur veika kjarnakraftsins miðað við rafsegulkraftinn? Þar sem veiki kjarnakrafturinn verkar aðeins á mjög stuttum vegalengdum, svo sem inni í kjörnum, þar sem sterki krafturinn og rafsegulkrafturinn verka einnig, gæti það komið á óvart að við höfum nokkra þekkingu á honum yfirleitt. Við höfum slíka þekkingu vegna þess að veiki kjarnakrafturinn er ábyrgur fyrir betasundu, tegund kjarnasundrunar sem ekki er útskýrð með öðrum kröftum.

(a) Hvert er hlutfall styrks þyngdarkraftsins og sterka kjarnakraftsins? (b) Hvert er hlutfall styrks þyngdarkraftsins og veika kjarnakraftsins? (c) Hvert er hlutfall styrks þyngdarkraftsins og rafsegulkraftsins? Hvað gefa svör þín í skyn um áhrif þyngdarkraftsins á atómkjarna?

Hvert er hlutfall styrks sterka kjarnakraftsins og rafsegulkraftsins? Byggt á þessu hlutfalli gætir þú búist við því að sterki krafturinn sé ríkjandi í kjarnanum, sem er satt fyrir litla kjarna. Stórir kjarnar hafa hins vegar stærðir sem eru meiri en drægi sterka kjarnakraftsins. Við þessar stærðir byrjar rafsegulkrafturinn að hafa áhrif á stöðugleika kjarnans. Þessar staðreyndir verða notaðar til að útskýra kjarnasamruna og kjarnaklofnun síðar í þessum texta.

Gagnrýnin hugsun Tveir kassar með jafnan massa byrja kyrrir og renna með mismunandi láréttum ásettum kröftum yfir núningslausa fleti og fara sömu vegalengd. Kassi A verður fyrir þrisvar sinnum stærri láréttum krafti en kassi B. (a) Hvor kassinn fer hraðar yfir á þessari vegalengd frá upphafspunkti? Útskýrðu rökstuðning þinn í stuttu máli. (b) Byggt á tilraunagögnum er lögð til jafna sem passar við gögnin fyrir lokahraðann, V, sem gæti verið röng: ${V=KF}$ , þar sem K er fasti með viðeigandi einingum og F er lárétti ásetti krafturinn. Er þessi jafna í samræmi við svar þitt úr lið a? Útskýrðu hvers vegna eða hvers vegna ekki. Er þessi jafna rökrétt? Útskýrðu hvers vegna eða hvers vegna ekki. (c) Nú getur ásetti krafturinn haft hvaða gildi sem er og vegalengdin frá upphafspunkti er mæld þegar hraðinn nær ákveðnu gildi. Teiknaðu graf sem sýnir vegalengdina sem kassinn fer á ákveðnum hraða sem fall af ásettum krafti.

The figure is a plot of x as a function of F. The curve starts at a high value of x just to the right of the x axis and decreases in both value and slope, tending asymptotically to the F axis. Under the graph it is noted that x is proportional to 1 over F.