1.6 Stærðfræðileg meðferð á niðurstöðum mælinga

Það er oft þannig að stærðina sem áhugi er á er ekki auðvelt (eða jafnvel mögulegt) að mæla beint, heldur verður að reikna hana út frá öðrum beint mældum eiginleikum og viðeigandi stærðfræðilegum samböndum. Tökum sem dæmi mælingu á meðalhraða íþróttamanns sem hleypur spretti. Þetta er venjulega gert með því að mæla tímann sem það tekur íþróttamanninn að hlaupa frá ráslínu að marklínu og vegalengdina milli þessara tveggja lína og reikna síðan út hraða út frá jöfnunni sem tengir þessa þrjá eiginleika:

hraði = \frac{vegalengd}{tími}

Sprettari á Ólympíugæðum getur hlaupið 100 m á um það bil 10 s, sem samsvarar meðalhraða upp á

\frac{100 m}{10 s} = 10 m/s

(Fyrir þennan og næsta útreikning, gerðu ráð fyrir að núllin aftast séu markverðir stafir.) Athugaðu að þessi einfalda reikningsaðgerð felur í sér að deila tölum hverrar mældrar stærðar til að fá tölu reiknuðu stærðarinnar (100/10 = 10) og sömuleiðis að deila einingum hverrar mældrar stærðar til að fá einingu reiknuðu stærðarinnar (m/s = m/s). Íhugaðu nú að nota þetta sama samband til að spá fyrir um þann tíma sem það tekur mann sem hleypur á þessum hraða að fara 25 m vegalengd. Sama samband milli þessara þriggja eiginleika er notað, en í þessu tilfelli eru stærðirnar tvær sem gefnar eru hraði (10 m/s) og vegalengd (25 m). Til að fá þann eiginleika sem leitað er að, tíma, verður að endurraða jöfnunni á viðeigandi hátt:

tími = \frac{vegalengd}{hraði}

Þá er hægt að reikna tímann sem:

\frac{25 m}{10 m/s} = 2,5 s

Aftur fylgdi reikningsaðgerð á tölunum (25/10 = 2,5) sams konar reikningsaðgerð á einingunum (m/(m/s) = s) til að fá tölu og einingu niðurstöðunnar, 2,5 s. Athugaðu að, rétt eins og með tölur, þegar einingu er deilt með sams konar einingu (í þessu tilfelli, m/m), er niðurstaðan „1“ — eða, eins og almennt er orðað, einingarnar „styttast út“.

Þessir útreikningar eru dæmi um fjölhæfa stærðfræðilega aðferð sem kallast einingagreining (e. dimensional analysis) (eða þáttamerkingaraðferðin (e. factor-label method)). Einingagreining byggir á þessari forsendu: einingar stærða verða að lúta sömu stærðfræðilegu aðgerðum og tilheyrandi tölur þeirra. Þessa aðferð má beita á útreikninga, allt frá einföldum einingabreytingum til flóknari, margra þrepa útreikninga sem fela í sér nokkrar mismunandi stærðir.

Umreikningsstuðlar og einingagreining

Hlutfall tveggja jafngildra stærða sem gefnar eru upp með mismunandi mælieiningum má nota sem umreikningsstuðul fyrir einingar (e. unit conversion factor). Til dæmis eru lengdirnar 2,54 cm og 1 tommur jafngildar (samkvæmt skilgreiningu) og því má leiða út umreikningsstuðul fyrir einingar úr hlutfallinu,

\frac{2,54 cm}{1 in.} (2,54 cm = 1 in.) eða 2,54 \frac{cm}{in.}

Nokkrir aðrir algengir umreikningsstuðlar eru gefnir í Tafla 1.7.

Tafla 1.7
Algengir umreikningsstuðlar
Lengd	Rúmmál	Massi
1 m = 1,0936 yd	1 L = 1,0567 qt	1 kg = 2,2046 lb
1 tommur = 2,54 cm (nákvæmlega)	1 qt = 0,94635 L	1 lb = 453,59 g¹
1 km = 0,62137 mílur	1 ft³ = 28,317 L	1 (avoirdupois) oz = 28,349 g
1 míla = 1609,3 m	1 msk = 14,787 ml	1 (troy) oz = 31,103 g

Þegar stærð (eins og vegalengd í tommum) er margfölduð með viðeigandi umreikningsstuðli fyrir einingar er stærðinni breytt í jafngilt gildi með öðrum einingum (eins og vegalengd í sentímetrum). Til dæmis má breyta lóðréttu stökki körfuboltamanns upp á 34 tommur í sentímetra með því að:

34 in. \times \frac{2,54 cm}{1 in.} = 86 cm

Þar sem þessi einfalda reikningsaðgerð felur í sér stærðir krefst forsenda einingagreiningar þess að við margföldum bæði tölur og einingar. Tölur þessara tveggja stærða eru margfaldaðar til að gefa tölu myndefnisstærðarinnar, 86, en einingarnar eru margfaldaðar til að gefa ${\frac{{\text{in.}\, \times \, \text{cm}}}{{\text{in.}}}}$ . Rétt eins og með tölur er hlutfall sams konar eininga einnig tölulega jafnt og einn, ${\frac{{\text{in.}}}{{\text{in.}}}\, =\text{1,}}$ og einingamargfeldið einfaldast því í cm. (Þegar sams konar einingar deilast og gefa þáttinn 1 er sagt að þær „styttist út“.) Einingagreiningu má nota til að staðfesta rétta beitingu umreikningsstuðla fyrir einingar eins og sýnt er í eftirfarandi dæmi.

Til viðbótar við einfaldar einingaumreikningar er hægt að nota þáttagreiningu til að leysa flóknari verkefni sem fela í sér útreikninga. Burtséð frá smáatriðum er grundvallaraðferðin sú sama – allir þættir sem koma við sögu í útreikningnum verða að vera rétt uppstilltir til að tryggja að merkingar þeirra (einingar) styttist út og/eða sameinist á viðeigandi hátt til að gefa æskilega einingu í niðurstöðunni. Eftir því sem þú heldur áfram í efnafræðináminu muntu fá mörg tækifæri til að beita þessari aðferð.

Dæmi 1.9

Útreikningur stærða út frá mælingarniðurstöðum og þekktum stærðfræðilegum samböndum

Hver er eðlismassi algengs frostlagar í einingunni g/ml? 4,00 qt sýni af frostlöginum vegur 9,26 lb.

Lausn

Þar sem ${\text{eðlismassi}\, =\, \frac{{\text{massi}}}{{\text{rúmmál}}}}$ þurfum við að deila massanum í grömmum með rúmmálinu í millilítrum. Almennt gildir: fjöldi eininga B = fjöldi eininga A $\times$ umreikningsstuðull. Nauðsynlegir umreikningsstuðlar eru gefnir í Tafla 1.7: 1 lb = 453,59 g; 1 L = 1,0567 qt; 1 L = 1.000 ml. Hægt er að umreikna massa úr pundum í grömm á eftirfarandi hátt:

9,26 lb \times \frac{453,59 g}{1 lb} = 4,20 \times 10^{3} g

Rúmmál má umreikna úr kvörtum í millilítra í tveimur skrefum:

Umreikna kvört í lítra.
$4,00 qt \times \frac{1 L}{1,0567 qt} = 3,78 L$
Umreikna lítra í millilítra.
$3,78 L \times \frac{1000 mL}{1 L} = 3,78 \times 10^{3} mL$

Þá,

eðlismassi = \frac{4,20 \times 10^{3} g}{3,78 \times 10^{3} mL} = 1,11 g/mL

Einnig væri hægt að setja útreikninginn upp þannig að þrír umreikningsstuðlar séu notaðir í röð á eftirfarandi hátt:

\frac{9,26 lb}{4,00 qt} \times \frac{453,59 g}{1 lb} \times \frac{1,0567 qt}{1 L} \times \frac{1 L}{1000 mL} = 1,11 g/mL

Kannaðu þekkingu þína

Hvert er rúmmálið í lítrum af 1,000 oz, að því gefnu að 1 L = 1,0567 qt og 1 qt = 32 oz (nákvæmlega)?

Dæmi 1.10

Útreikningur stærða út frá mælingarniðurstöðum og þekktum stærðfræðilegum samböndum

Á leiðinni frá Philadelphia til Atlanta, um 1250 km vegalengd, notar 2014 Lamborghini Aventador Roadster 213 L af bensíni.

(a) Hver var (meðal)eyðsla Roadster-bílsins í þessari ferð, mæld í mílum á galloni?

(b) Ef bensín kostar 3,80 $ á gallonið, hver var eldsneytiskostnaðurinn fyrir þessa ferð?

Lausn

(a) Fyrst er vegalengdin umreiknuð úr kílómetrum í mílur:

1250 km \times \frac{0,62137 mi}{1 km} = 777 mi

og síðan er rúmmálið umreiknað úr lítrum í gallon:

213 L \times \frac{1,0567 qt}{1 L} \times \frac{1 gal}{4 qt} = 56,3 gal

Loks,

(average) mileage = \frac{777 mi}{56,3 gal} = 13,8 miles/gallon = 13,8 mpg

Einnig væri hægt að setja útreikninginn upp þannig að allir umreikningsstuðlarnir séu notaðir í röð, á eftirfarandi hátt:

\frac{1250 km}{213 L} \times \frac{0,62137 mi}{1 km} \times \frac{1 L}{1,0567 qt} \times \frac{4 qt}{1 gal} = 13,8 mpg

(b) Með því að nota áður útreiknað rúmmál í gallonum finnum við:

56,3 gal \times \frac{$3,80}{1 gal} = $214

Kannaðu þekkingu þína

Toyota Prius Hybrid notar 59,7 L af bensíni til að aka frá San Francisco til Seattle, 1300 km vegalengd (tvær markverðar tölur).

(a) Hver var (meðal)eyðsla Prius-bílsins í þessari ferð, mæld í mílum á galloni?

(b) Ef bensín kostar 3,90 $ á gallonið, hver var eldsneytiskostnaðurinn fyrir þessa ferð?

Umreikningur hitaeininga

Við notum orðið hitastig (e. temperature) til að vísa til þess hversu heitt eða kalt efni er. Ein leið til að mæla breytingu á hitastigi er að nýta þá staðreynd að flest efni þenjast út þegar hitastig þeirra hækkar og dragast saman þegar hitastig þeirra lækkar. Vökvinn í venjulegum glerhitamæli breytir rúmmáli sínu þegar hitastigið breytist og hægt er að nota stöðu yfirborðs innilokaða vökvans á prentuðum kvarða sem mælikvarða á hitastig.

Hitakvarðar eru skilgreindir miðað við valin viðmiðunarhitastig: Tvö af þeim algengustu eru frostmark og suðumark vatns við tiltekinn loftþrýsting. Á Celsíuskvarðanum er 0 °C skilgreint sem frostmark vatns og 100 °C sem suðumark vatns. Bilinu milli þessara tveggja hitastiga er skipt í 100 jöfn bil sem við köllum gráður. Á Fahrenheit-kvarðanum er frostmark vatns skilgreint sem 32 °F og suðumarkið sem 212 °F. Bilinu milli þessara tveggja punkta á Fahrenheit-hitamæli er skipt í 180 jafna hluta (gráður).

Að skilgreina Celsíus- og Fahrenheit-hitakvarðana eins og lýst er í fyrri málsgrein leiðir til aðeins flóknara sambands milli hitastigsgilda á þessum tveimur kvörðum en fyrir mismunandi mælieiningar fyrir aðra eiginleika. Flestar mælieiningar fyrir tiltekinn eiginleika eru í beinu hlutfalli hver við aðra (y = mx). Ef við notum kunnuglegar lengdareiningar sem dæmi:

lengd í fetum = (\frac{1 ft}{12 in.}) \times lengd í tommum

þar sem y = lengd í fetum, x = lengd í tommum og hlutfallfastinn, m, er umreikningsstuðullinn. Celsíus- og Fahrenheit-hitakvarðarnir deila hins vegar ekki sameiginlegum núllpunkti og því er sambandið milli þessara tveggja kvarða línulegt frekar en í beinu hlutfalli (y = mx + b). Þar af leiðandi krefst það meira en einfaldrar margföldunar með umreikningsstuðli, m, að breyta hitastigi af öðrum þessara kvarða yfir á hinn; það verður einnig að taka tillit til mismunar á núllpunktum kvarðanna (b).

Línulega jöfnan sem tengir saman Celsíus- og Fahrenheit-hitastig er auðveldlega leidd út frá þeim tveimur hitastigum sem notuð eru til að skilgreina hvorn kvarða. Ef við táknum Celsíus-hitastigið sem x og Fahrenheit-hitastigið sem y, er hallatalan, m, reiknuð út sem:

m = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{212 °F - 32 °F}{100 °C - 0 °C} = \frac{180 °F}{100 °C} = \frac{9 °F}{5 °C}

Skurðpunktur jöfnunnar við y-ás, b, er síðan reiknaður út með því að nota annaðhvort jafngildu hitastigsparanna, (100 °C, 212 °F) eða (0 °C, 32 °F), sem:

b = y - m x = 32 °F - \frac{9 °F}{5 °C} \times 0 °C = 32 °F

Jafnan sem tengir saman hitastigskvarðana (T) er þá:

T_{°F} = (\frac{9 °F}{5 °C} \times T_{°C}) + 32 °F

Stytt útgáfa af þessari jöfnu sem sleppir mælieiningunum er:

T_{°F} = (\frac{9}{5} \times T_{°C}) + 32

Umröðun þessarar jöfnu gefur formið sem er gagnlegt til að breyta úr Fahrenheit í Celsíus:

T_{°C} = \frac{5}{9} (T_{°F} - 32)

Eins og fyrr var nefnt í þessum kafla er SI-eining hitastigs kelvin (K). Ólíkt Celsíus- og Fahrenheit-kvörðunum er kelvinkvarðinn algildur hitakvarði þar sem 0 (núll) K samsvarar lægsta hitastigi sem fræðilega er hægt að ná. Þar sem kelvinhitakvarðinn er algildur er gráðumerki ekki notað í skammstöfun einingarinnar, K. Uppgötvun á sambandi milli rúmmáls og hitastigs gass snemma á 19. öld gaf til kynna að rúmmál gass yrði núll við −273,15 °C. Árið 1848 lagði breski eðlisfræðingurinn William Thompson, sem síðar tók sér titilinn Kelvin lávarður, til algildan hitakvarða byggðan á þessu hugtaki (nánari umfjöllun um þetta efni er að finna í kaflanum um gös í þessari bók).

Frostmark vatns á þessum kvarða er 273,15 K og suðumark þess er 373,15 K. Takið eftir að tölulegur munur á þessum tveimur viðmiðunarhitastigum er 100, sá sami og fyrir Celsíuskvarðann, og því mun línulega sambandið milli þessara tveggja hitakvarða sýna hallatölu ${1\, \frac{\text{K}}{{\text{°C}}}}$ . Með sömu nálgun eru jöfnurnar til að breyta á milli kelvin- og Celsíus-hitakvarðanna leiddar út sem:

T_{K} = T_{°C} + 273,15

T_{°C} = T_{K} - 273,15

Talan 273,15 í þessum jöfnum hefur verið ákvörðuð með tilraunum, svo hún er ekki nákvæm. Mynd 1.28 sýnir sambandið milli þriggja hitakvarðanna.

A thermometer is shown for the Fahrenheit, Celsius and Kelvin scales. Under the Fahrenheit scale, the boiling point of water is 212 degrees while the freezing point of water is 32 degrees. Therefore, there are 180 Fahrenheit degrees between the boiling point of water and the freezing point of water. Under the Celsius scale, the boiling point of water is 100 degrees while the freezing point of water is 0 degrees. Therefore, there are 100 Celsius degrees between the boiling point and freezing point of water. Under the kelvin scale, the boiling point of water is 373.15 K, while the freezing point of water is 273.15 K. 233.15 K is equal to negative 40 degrees Celsius, which is also equal to negative 40 degrees Fahrenheit. — Mynd 1.28 Fahrenheit-, Celsíus- og kelvinhitakvarðarnir eru bornir saman.

Þrátt fyrir að kelvin- (algildi) hitakvarðinn sé opinber SI-hitakvarðinn er Celsíus almennt notaður í mörgu vísindalegu samhengi og er kvarðinn sem valinn er í óvísindalegu samhengi á næstum öllum svæðum heimsins. Mjög fá lönd (Bandaríkin og yfirráðasvæði þeirra, Bahamaeyjar, Belís, Cayman-eyjar og Palá) nota enn Fahrenheit fyrir veður, læknisfræði og matreiðslu.

Neðanmálsgreinar

Strangt til tekið eru únsa og pund einingar fyrir þyngd, W (kraftur sem jafngildir margfeldi massa og þyngdarhröðunar, W = mg). Umreikningssamböndin í þessari töflu eru almennt notuð til að jafna massa og þyngd með því að gera ráð fyrir nafnvirði fyrir g á yfirborði jarðar. ↩

Námsmarkmið