1.5 Óvissa í mælingum, hittni og nákvæmni

Talning er eina tegund mælinga sem er laus við óvissu, að því gefnu að fjöldi hluta sem verið er að telja breytist ekki á meðan talningin er í gangi. Niðurstaða slíkrar talningarmælingar er dæmi um nákvæma tölu (e. exact number). Með því að telja eggin í öskju er hægt að ákvarða nákvæmlega hversu mörg egg askjan inniheldur. Tölur skilgreindra stærða eru einnig nákvæmar. Samkvæmt skilgreiningu er 1 fet nákvæmlega 12 tommur, 1 tomma er nákvæmlega 2,54 sentimetrar og 1 gramm er nákvæmlega 0,001 kílógramm. Stærðir sem fengnar eru úr öðrum mælingum en talningu eru hins vegar óvissar að mismiklu leyti vegna hagnýtra takmarkana mælingarferlisins sem notað er.

Markverðir stafir í mælingum

Tölur mældra stærða, ólíkt skilgreindum eða beintöldum stærðum, eru ekki nákvæmar. Til að mæla rúmmál vökva í mæliglasi ættir þú að lesa af neðst á bjúgfletinum, lægsta punkti á sveigðu yfirborði vökvans.

This diagram shows a 25 milliliter graduated cylinder filled with about 20.8 milliliters of fluid. The diagram zooms in on the meniscus, which is the curved surface of the water that is visible when the graduated cylinder is viewed from the side. You make the reading at the lowest point of the curve of the meniscus. — Mynd 1.26 Til að mæla rúmmál vökvans í þessu mæliglasi verður þú að skipta fjarlægðinni milli 21 og 22 ml merkja í huganum í tíundu hluta úr millilítra og lesa síðan af (meta) neðst á bjúgfletinum.

Skoðaðu myndina í Mynd 1.26. Neðsti hluti bjúgflatarins í þessu tilviki liggur greinilega á milli 21 og 22 merkjanna, sem þýðir að rúmmál vökvans er örugglega meira en 21 ml en minna en 22 ml. Bjúgflöturinn virðist vera aðeins nær 22 ml merkinu en 21 ml merkinu og því væri sanngjarnt mat á rúmmáli vökvans 21,6 ml. Í tölunni 21,6 eru tölustafirnir 2 og 1 því öruggir en 6 er mat. Sumir gætu metið stöðu bjúgflatarins jafn langt frá hvoru merkinu og metið tölustafinn í tíunda sætinu sem 5, á meðan aðrir gætu talið hann vera enn nær 22 ml merkinu og metið þennan tölustaf sem 7. Athugaðu að það væri tilgangslaust að reyna að meta tölustaf fyrir hundraðshlutasætið, í ljósi þess að tölustafurinn í tíunda sætinu er óviss. Almennt séð munu talnakvarðar eins og sá á þessu mæliglasi leyfa mælingar með nákvæmni upp á einn tíunda úr minnstu kvarðadeilingu. Kvarðinn í þessu tilfelli hefur 1 ml deilingar og því má mæla rúmmál með nákvæmni upp á 0,1 ml.

Þetta hugtak gildir fyrir allar mælingar, jafnvel þótt þú gerir ekki virkt mat. Ef þú setur 25 senta pening á venjulega rafræna vog gætirðu fengið aflestur upp á 6,72 g. Tölustafirnir 6 og 7 eru öruggir og 2 gefur til kynna að massi peningsins sé líklega á milli 6,71 og 6,73 grömm. Peningurinn vegur um það bil 6,72 grömm, með nafnóvissu í mælingunni upp á ± 0,01 gramm. Ef peningurinn er veginn á næmari vog gæti massinn verið 6,723 g. Þetta þýðir að massi hans liggur á milli 6,722 og 6,724 grömm, sem er óvissa upp á 0,001 gramm. Sérhver mæling hefur einhverja óvissu (e. uncertainty), sem fer eftir tækinu sem notað er (og hæfni notandans). Allir tölustafir í mælingu, þar með talinn síðasti óvissi tölustafurinn, eru kallaðir markverðir stafir (e. significant figures) eða marktækir tölustafir (e. significant digits). Athugaðu að núll getur verið mælt gildi; til dæmis, ef þú stendur á vog sem sýnir þyngd með nákvæmni upp á næsta pund og hún sýnir „120“, þá eru 1 (hundruð), 2 (tugir) og 0 (einingar) öll marktæk (mæld) gildi.

Mælingarniðurstaða er rétt skráð þegar marktækir tölustafir hennar endurspegla nákvæmlega vissu mælingarferlisins. En hvað ef þú værir að greina uppgefið gildi og reyna að ákvarða hvað er marktækt og hvað ekki? Til að byrja með eru allir tölustafir sem eru ekki núll marktækir og það eru aðeins núllin sem krefjast umhugsunar. Við munum nota hugtökin „leiðandi“, „aftanstæð“ og „innilokuð“ fyrir núllin og íhuga hvernig eigi að meðhöndla þau.

The left diagram uses the example of 3090. The zero in the hundreds place is labeled “captive” and the zero in the ones place is labeled trailing. The right diagram uses the example 0.008020. The three zeros in the ones, tenths, and hundredths places are labeled “leading.” The zero in the ten-thousandths place is labeled “captive” and the zero in the millionths place is labeled “trailing.”

Byrjaðu á fyrsta tölustafnum sem er ekki núll vinstra megin, teldu þennan tölustaf og alla tölustafi sem eftir eru til hægri. Þetta er fjöldi markverðra stafa í mælingunni nema síðasti tölustafurinn sé aftanstætt núll sem liggur vinstra megin við kommu.

The left diagram uses the example of 1267 meters. The number 1 is the first nonzero figure on the left. 1267 has 4 significant figures in total. The right diagram uses the example of 55.0 grams. The number 5 in the tens place is the first nonzero figure on the left. 55.0 has 3 significant figures. Note that the 0 is to the right of the decimal point and therefore is a significant figure.

Innilokuð núll stafa af mælingum og eru því alltaf marktæk. Leiðandi núll eru hins vegar aldrei marktæk – þau segja okkur aðeins hvar komman er staðsett.

The left diagram uses the example of 70.607 milliliters. The number 7 is the first nonzero figure on the left. 70.607 has 5 significant figures in total, as all figures are measured including the 2 zeros. The right diagram uses the example of 0.00832407 M L. The number 8 is the first nonzero figure on the left. 0.00832407 has 6 significant figures.

Leiðandi núllin í þessu dæmi eru ekki marktæk. Við gætum notað veldisvísanotkun (eins og lýst er í viðauka B) og táknað töluna sem 8,32407 $\times$ 10⁻³; þá inniheldur talan 8,32407 alla markverðu stafina og 10⁻³ staðsetur kommuna.

Fjöldi markverðra stafa er óviss í tölu sem endar á núlli vinstra megin við kommuna. Núllin í mælingunni 1.300 grömm gætu verið marktæk eða þau gætu einfaldlega gefið til kynna hvar komman er staðsett. Hægt er að leysa úr þessari tvíræðni með því að nota veldisvísanotkun: 1,3 $\times$ 10³ (tveir markverðir stafir), 1,30 $\times$ 10³ (þrír markverðir stafir, ef tugasætið var mælt), eða 1,300 $\times$ 10³ (fjórir markverðir stafir, ef einingasætið var einnig mælt). Í tilfellum þar sem aðeins talan á kommuformi er tiltæk er skynsamlegt að gera ráð fyrir að öll aftanstæð núll séu ekki marktæk.

This figure uses the example of 1300 grams. The one and the 3 are significant figures as they are clearly the result of measurement. The 2 zeros could be significant if they were measured or they could be placeholders.

Þegar þú ákvarðar markverða stafi skaltu gæta þess að gefa gaum að uppgefnum gildum og hugsa um mælinguna og markverða stafi með tilliti til þess hvað er sanngjarnt eða líklegt þegar þú metur hvort gildið sé rökrétt. Til dæmis, í opinberu manntali í janúar 2014 var íbúafjöldi Bandaríkjanna gefinn upp sem 317.297.725. Telur þú að íbúafjöldi Bandaríkjanna hafi verið rétt ákvarðaður með níu markverðum stöfum, það er, nákvæmlega fjöldi fólks? Fólk fæðist, deyr eða flytur til eða frá landinu stöðugt og gert er ráð fyrir ákveðnum forsendum til að taka tillit til þess mikla fjölda fólks sem er í raun ekki talið. Vegna þessarar óvissu gæti verið sanngjarnara að búast við því að við þekkjum íbúafjöldann með um það bil milljón manna skekkjumörkum, en þá ætti að gefa íbúafjöldann upp sem 3,17 $\times$ 10⁸ manns.

Markverðir stafir í útreikningum

Önnur mikilvæg meginregla um óvissu er sú að niðurstöður sem reiknaðar eru út frá mælingu eru að minnsta kosti jafn óvissar og mælingin sjálf. Taktu tillit til óvissu í mælingum til að forðast að gefa ranga mynd af óvissu í reiknuðum niðurstöðum. Ein leið til að gera þetta er að gefa upp niðurstöðu útreiknings með réttum fjölda markverðra stafa, sem er ákvarðaður af eftirfarandi þremur reglum um námundun (e. rounding) talna:

Þegar tölur eru lagðar saman eða dregnar frá, námundaðu niðurstöðuna að sama fjölda aukastafa og talan með fæsta aukastafi (minnst vissa gildið hvað varðar samlagningu og frádrátt).
Þegar tölur eru margfaldaðar eða þeim deilt, námundaðu niðurstöðuna að sama fjölda tölustafa og talan með fæsta fjölda markverðra stafa (minnst vissa gildið hvað varðar margföldun og deilingu).
Ef tölustafurinn sem á að fella brott (sá sem er strax hægra megin við tölustafinn sem á að halda) er minni en 5, „námundaðu niður“ og láttu tölustafinn sem haldið er vera óbreyttan; ef hann er meiri en 5, „námundaðu upp“ og hækkaðu tölustafinn sem haldið er um 1. Ef tölustafurinn sem er felldur brott er 5, og hann er annaðhvort síðasti tölustafurinn í tölunni eða á eftir honum koma aðeins núll, námundaðu upp eða niður, hvort sem gefur slétta tölu fyrir tölustafinn sem haldið er. Ef einhverjir tölustafir aðrir en núll fylgja 5 sem er felldur brott, námundaðu upp. (Síðasti hluti þessarar reglu kann að virðast dálítið undarlegur, en hún byggir á áreiðanlegri tölfræði og miðar að því að forðast hlutdrægni þegar tölustafnum „5“ er sleppt, þar sem hann er jafn nálægt báðum mögulegum gildum tölustafsins sem haldið er.)

Eftirfarandi dæmi sýna notkun þessarar reglu við námundun nokkurra mismunandi talna að þremur markverðum stöfum:

0,028675 er námundað „upp“ í 0,0287 (tölustafurinn sem er felldur brott, 7, er stærri en 5)
18,3384 er námundað „niður“ í 18,3 (tölustafurinn sem er felldur brott, 3, er minni en 5)
6,8752 er námundað „upp“ í 6,88 (tölustafurinn sem er felldur brott er 5 og á eftir honum kemur tölustafur sem er ekki núll)
92,85 er námundað „niður“ í 92,8 (tölustafurinn sem er felldur brott er 5 og tölustafurinn sem haldið er er slétt tala)

Við skulum vinna okkur í gegnum þessar reglur með nokkrum dæmum.

Dæmi 1.3

Námundun talna

Námundaðu eftirfarandi að tilgreindum fjölda markverðra stafa:

(a) 31,57 (að tveimur markverðum stöfum)

(b) 8,1649 (að þremur markverðum stöfum)

(d) 0,90275 (að fjórum markverðum stöfum)

Lausn

(a) 31,57 er námundað „upp“ í 32 (tölustafurinn sem er felldur brott er 5 og tölustafurinn sem haldið er er slétt tala)

(b) 8,1649 er námundað „niður“ í 8,16 (tölustafurinn sem er felldur brott, 4, er minni en 5)

(c) 0,051065 er námundað „niður“ í 0,05106 (tölustafurinn sem er felldur brott er 5 og tölustafurinn sem haldið er er slétt tala)

(d) 0,90275 er námundað „upp“ í 0,9028 (tölustafurinn sem er felldur brott er 5 og tölustafurinn sem haldið er er slétt tala)

Kannaðu þekkingu þína

Námundaðu eftirfarandi að tilgreindum fjölda markverðra stafa:

(a) 0,424 (að tveimur markverðum stöfum)

(b) 0,0038661 (að þremur markverðum stöfum)

(d) 28.683,5 (að fimm markverðum stöfum)

Dæmi 1.5

Margföldun og deiling með markverðum stöfum

Regla: Þegar tölur eru margfaldaðar eða þeim deilt er niðurstaðan námunduð að sama fjölda tölustafa og talan með fæsta markverða stafi (ónákvæmasta gildið hvað varðar margföldun og deilingu).

(a) Margfaldaðu 0,6238 cm með 6,6 cm.

(b) Deildu 421,23 g með 486 ml.

Lausn

(a) ${\begin{aligned} \end{aligned}}}$

(b) $\begin{aligned} \frac{{\text{421,23 g}}}{{\text{486 mL}}}\, =\text{0,866728... g/mL}\, \longrightarrow \, \text{result is 0,867 g/mL}\, {({\text{námundað að þremur markverðum tölustöfum}})} \\ \frac{{\text{fimm markverðir tölustafir}}}{{\text{þrír markverðir tölustafir}}}\, \longrightarrow \, \text{svar með þremur markverðum tölustöfum} \end{aligned}$

Kannaðu þekkingu þína

(a) Margfaldaðu 2,334 cm og 0,320 cm.

(b) Deildu 55,8752 m með 56,53 s.

Innan um öll þessi tæknilegu atriði er mikilvægt að hafa í huga ástæðuna fyrir þessum reglum um markverða stafi og námundun—að gefa rétta mynd af nákvæmni gildanna sem gefin eru upp og tryggja að reiknuð niðurstaða sé ekki sett fram sem nákvæmari en ónákvæmasta gildið sem notað var í útreikningnum.

Dæmi 1.7

Tilraunaákvörðun á eðlismassa með vatnsyfirfærslu

Kambstálshluti er vigtaður og síðan sökkt í mæliglas sem er að hluta fyllt með vatni, með niðurstöðum eins og sýnt er.

(a) Notaðu þessi gildi til að ákvarða eðlismassa þessa kambstálshluta.

(b) Kambstál er að mestu leyti járn. Styður niðurstaða þín í (a) þessa staðhæfingu? Hvernig?

Lausn

Rúmmál kambstálshlutans er jafnt rúmmáli vatnsins sem hann ryður frá sér:

rúmmál = 22,4 mL - 13,5 mL = 8,9 mL = {8,9 cm}^{3}

(námundað að næsta 0,1 ml, samkvæmt reglu um samlagningu og frádrátt)

Eðlismassinn er hlutfall massa og rúmmáls:

eðlismassi = \frac{massi}{rúmmál} = \frac{69,658 g}{{8,9 cm}^{3}} = {7,8 g/cm}^{3}

(námundað að tveimur markverðum stöfum, samkvæmt reglu um margföldun og deilingu)

Samkvæmt Tafla 1.4 er eðlismassi járns 7,9 g/cm³, mjög nálægt eðlismassa kambstáls, sem styður þá staðreynd að kambstál er að mestu leyti járn.

Kannaðu þekkingu þína

Óreglulega lagaður hluti af glansandi gulleitu efni er vigtaður og síðan sökkt í mæliglas, með niðurstöðum eins og sýnt er.

(a) Notaðu þessi gildi til að ákvarða eðlismassa þessa efnis.

(b) Geturðu á sanngjarnan hátt giskað á hvaða efni þetta er? Útskýrðu rökstuðning þinn.

Hittni og nákvæmni

Vísindamenn gera yfirleitt endurteknar mælingar á stærð til að tryggja gæði niðurstaðna sinna og til að meta bæði nákvæmni (e. precision) og hittni (e. accuracy) þeirra. Mælingar eru sagðar vera nákvæmar ef þær gefa mjög svipaðar niðurstöður þegar þær eru endurteknar á sama hátt. Mæling er talin vera með mikla hittni ef hún gefur niðurstöðu sem er mjög nálægt sönnu eða viðteknu gildi. Nákvæm gildi eru í samræmi hvert við annað; gildi með mikla hittni eru í samræmi við sanngildi. Þessar lýsingar má yfirfæra á annað samhengi, svo sem niðurstöður úr bogfimikeppni (Mynd 1.27).

Mynd 1.27 (a) Þessar örvar eru nálægt bæði miðjunni og hver annarri, þannig að þær eru bæði með mikla hittni og nákvæmni. (b) Þessar örvar eru nálægt hver annarri en ekki í markinu, þannig að þær eru nákvæmar en ekki með mikla hittni. (c) Þessar örvar eru hvorki í markinu né nálægt hver annarri, þannig að þær eru hvorki með mikla hittni né nákvæmni.

Gerum ráð fyrir að gæðaeftirlitsefnafræðingur hjá lyfjafyrirtæki fái það verkefni að kanna hittni og nákvæmni þriggja mismunandi véla sem eiga að skammta 10 únsum (296 ml) af hóstasaft í geymsluflöskur. Hún notar hverja vél til að fylla fimm flöskur og ákvarðar síðan vandlega raunverulegt rúmmál sem skammtað var og fær niðurstöðurnar sem sýndar eru í töflu í Tafla 1.6.

Tafla 1.6
Rúmmál (ml) hóstalyfs afhent af 10 únsu (296 ml) skömmturum
Skammtari nr. 1	Skammtari nr. 2	Skammtari nr. 3
283,3	298,3	296,1
284,1	294,2	295,9
283,9	296,0	296,1
284,0	297,8	296,0
284,1	293,9	296,1

Miðað við þessar niðurstöður mun hún tilkynna að skammtari nr. 1 sé nákvæmur (gildin eru öll nálægt hvert öðru, með nokkurra tíundu úr millilítra mun) en ekki með mikla hittni (ekkert gildi er nálægt markgildinu 296 ml, hvert þeirra er meira en 10 ml of lágt). Niðurstöður fyrir skammtara nr. 2 sýna bætta hittni (hvert rúmmál er innan við 3 ml frá 296 ml) en verri nákvæmni (rúmmál eru breytileg um meira en 4 ml). Að lokum getur hún tilkynnt að skammtari nr. 3 virki vel, skammtar hóstasaft bæði með mikilli hittni (öll rúmmál innan 0,1 ml frá markgildinu) og nákvæmni (rúmmál eru ekki frábrugðin hvert öðru um meira en 0,2 ml).

Námsmarkmið