6.2 Líkan Bórs

Í kjölfar vinnu Ernests Rutherford og samstarfsmanna hans í upphafi tuttugustu aldar var sú mynd af frumeindum vel staðfest að þær samanstæðu af örsmáum, þéttum kjörnum umkringdum léttari og jafnvel enn smærri rafeindum sem hreyfast stöðugt um kjarnann. Þessi mynd var kölluð plánetulíkanið, þar sem hún sýndi frumeindina sem örlítið „sólkerfi“ þar sem rafeindirnar eru á sporbaug um kjarnann líkt og plánetur á sporbaug um sólina. Einfaldasta frumeindin er vetni, sem samanstendur af einni róteind sem kjarna og einni rafeind sem hreyfist um hann. Rafstöðukrafturinn sem dregur rafeindina að róteindinni fer aðeins eftir fjarlægðinni milli agnanna tveggja. Þessi klassíska aflfræðilega lýsing á frumeindinni er þó ófullkomin, þar sem rafeind sem hreyfist á sporbaug myndi vera á hraðabreytingu (með því að breyta um stefnu) og samkvæmt klassískri rafsegulfræði ætti hún stöðugt að gefa frá sér rafsegulgeislun. Þetta tap á brautarorku ætti að leiða til þess að sporbaugur rafeindarinnar verður stöðugt minni þar til hún snýst inn í kjarnann, sem gefur í skyn að frumeindir séu í eðli sínu óstöðugar.

Árið 1913 reyndi Niels Bohr að leysa þessa frumeindarþversögn með því að hunsa spá klassískrar rafsegulfræði um að rafeindin á sporbaug í vetni myndi stöðugt gefa frá sér ljós. Þess í stað innleiddi hann hugmyndir Plancks um skömmtun og niðurstöðu Einsteins um að ljós samanstæði af ljóseindum þar sem orkan er í réttu hlutfalli við tíðni þeirra í klassíska aflfræðilega lýsingu á frumeindinni. Bohr gerði ráð fyrir að rafeindin á sporbaug um kjarnann myndi venjulega ekki gefa frá sér neina geislun (tilgátan um kyrrstöðuástand), en hún myndi gefa frá sér eða gleypa ljóseind ef hún færðist yfir á annan sporbaug. Orkan sem er gleypt eða gefin frá sér myndi endurspegla mismun á brautarorku samkvæmt þessari jöfnu:

∣ Δ E ∣ = ∣ E_{f} - E_{i} ∣ = h ν = \frac{h c}{λ}

Í þessari jöfnu er h fasti Plancks og E_i og E_f eru upphafs- og lokaorka brautarinnar, í sömu röð. Algildi orkumunarins er notað, þar sem tíðni og bylgjulengdir eru alltaf jákvæðar. Í stað þess að leyfa samfelld orkugildi gerði Bohr ráð fyrir að orka þessara rafeindasvigrúma væri skömmtuð:

E_{n} = − \frac{k}{n^{2}}, n = 1, 2, 3, \dots

Í þessari segð er k fasti sem samanstendur af grunnföstum eins og massa og hleðslu rafeindarinnar og fasta Plancks. Með því að setja segðina fyrir brautarorkuna inn í jöfnuna fyrir ΔE fæst

Δ E = k (\frac{1}{n_{1}^{2}} - \frac{1}{n_{2}^{2}}) = \frac{h c}{λ}

eða

\frac{1}{λ} = \frac{k}{h c} (\frac{1}{n_{1}^{2}} - \frac{1}{n_{2}^{2}})

sem er samhljóða Rydberg-jöfnunni þar sem ${{R}_{∞}=\, \frac{k}{{hc}}.}$ Þegar Bohr reiknaði út fræðilegt gildi sitt fyrir Rydberg-fastann, ${{R}_{∞},}$ og bar það saman við viðurkennt gildi úr tilraunum, fékk hann framúrskarandi samsvörun. Þar sem Rydberg-fastinn var einn af nákvæmustu mældu föstunum á þeim tíma var þessi samsvörun undraverð og þýddi að líkan Bórs (e. bohr’s model) var tekið alvarlega, þrátt fyrir þær mörgu forsendur sem Bohr þurfti að gefa sér til að leiða það út.

Neðstu orkustigin eru sýnd á Mynd 6.14. Eitt af grundvallarlögmálum eðlisfræðinnar er að efni er stöðugast með lægstu mögulegu orku. Þannig hreyfist rafeindin í vetnisfrumeind venjulega á sporbaugnum n = 1, sporbaugnum þar sem hún hefur lægstu orkuna. Þegar rafeindin er á þessum lægsta orkusporbaug er sagt að frumeindin sé í grunnrafeindaástandi (e. ground electronic state) sínu (eða einfaldlega grunnástandi). Ef frumeindin fær orku frá utanaðkomandi uppsprettu er mögulegt fyrir rafeindina að færast yfir á sporbaug með hærra n gildi og frumeindin er þá í örvuðu rafeindaástandi (e. excited electronic state) (eða einfaldlega örvuðu ástandi) með hærri orku. Þegar rafeind færist úr örvuðu ástandi (hærri orkusporbaug) yfir í minna örvað ástand, eða grunnástand, er orkumunurinn gefinn frá sér sem ljóseind. Á sama hátt, ef ljóseind er gleypt af frumeind, færir orka ljóseindarinnar rafeind af lægri orkusporbaug upp á hærra örvaðan sporbaug. Við getum tengt orku rafeinda í frumeindum við það sem við lærðum áður um orku. Lögmálið um varðveislu orkunnar segir að við getum hvorki búið til né eytt orku. Þannig, ef ákveðið magn af ytri orku þarf til að örva rafeind frá einu orkustigi til annars, mun sama magn af orku losna þegar rafeindin fer aftur í upphafsástand sitt (Mynd 6.15).

Mynd 6.14 Skammtatölur og orkustig í vetnisfrumeind. Því neikvæðara sem reiknað gildi er, því lægri er orkan.

Mynd 6.15 Láréttu línurnar sýna afstæða orku brauta í Bohr-líkani vetnisfrumeindarinnar og lóðréttu örvarnar sýna orku ljóseinda sem eru gleyptar (vinstri) eða gefnar frá sér (hægri) þegar rafeindir færast milli þessara brauta.

Þar sem líkan Bórs náði aðeins til einnar rafeindar var einnig hægt að beita því á jónir með eina rafeind eins og He⁺, Li²⁺, Be³⁺, og svo framvegis, sem eru aðeins frábrugðnar vetni að því leyti sem varðar kjarnahleðslur þeirra, og því eru frumeindir og jónir með eina rafeind sameiginlega nefndar vetnislíkar frumeindir. Orkuformúlan fyrir vetnislíkar frumeindir er alhæfing á orku vetnisfrumeindarinnar, þar sem Z er kjarnahleðslan (+1 fyrir vetni, +2 fyrir He, +3 fyrir Li, og svo framvegis) og k hefur gildið 2,179 $\, \times \,$ 10^–18 J.

E_{n} = − \frac{k Z^{2}}{n^{2}}

Stærðir hringlaga sporbauga fyrir vetnislíkar frumeindir eru gefnar með geislum þeirra með eftirfarandi segð, þar sem ${{\text{a}}_{0}}$ er fasti sem kallast Bór-radíus, með gildið 5,292 $\times$ 10⁻¹¹ m:

r = \frac{n^{2}}{Z} a_{0}

Jafnan sýnir okkur einnig að eftir því sem orka rafeindarinnar eykst (þegar n eykst) finnst rafeindin í meiri fjarlægð frá kjarnanum. Þetta er gefið í skyn með öfugu sambandi rafstöðuaðdráttar og fjarlægðar, þar sem rafstöðuaðdrátturinn milli rafeindarinnar og kjarnans minnkar þegar rafeindin færist frá kjarnanum og hún er því lausar bundin í frumeindinni. Athugið að þegar n stækkar og brautirnar stækka, nálgast orka þeirra núll, og því gefa takmörkin ${n\, \longrightarrow \, ∞}$ og ${r\, \longrightarrow \, ∞}$ í skyn að E = 0 samsvari jónunarmörkunum þar sem rafeindin er alveg fjarlægð úr kjarnanum. Þannig, fyrir vetni í grunnástandi n = 1, væri jónunarorkan:

Δ E = E_{n ⟶ \infty} - E_{1} = 0 + k = k

Þegar þrjár afar torráðnar þversagnir höfðu verið leystar (geislun svarthlutar, ljósröfun og vetnisfrumeindin), og allar tengdust fasta Plancks á grundvallarhátt, varð flestum eðlisfræðingum á þeim tíma ljóst að klassískar kenningar sem virkuðu svo vel í stórsæja heiminum voru í grundvallaratriðum gallaðar og ekki hægt að yfirfæra þær á smásæjan heim frumeinda og sameinda. Þrátt fyrir einstakt afrek Bohrs við að leiða út fræðilega jöfnu fyrir Rydberg-fastann, gat hann því miður ekki útvíkkað kenningu sína yfir á næst einföldustu frumeindina, He, sem hefur aðeins tvær rafeindir. Líkan Bohrs var verulega gallað, þar sem það byggði enn á hugmynd klassískrar aflfræði um nákvæmar brautir, hugtak sem síðar reyndist óverjandi í smásæja heiminum þegar rétt líkan skammtafræðinnar var þróað til að leysa klassíska aflfræði af hólmi.

Dæmi 6.5

Útreikningur á orku og bylgjulengd rafeindaskipta í einnar rafeindar (Bohr) kerfi

Hver er orkan (í júlum) og bylgjulengdin (í metrum) á línunni í rófi vetnis sem táknar færslu rafeindar frá Bohr-braut með n = 4 yfir á braut með n = 6? Í hvaða hluta rafsegulrófsins finnum við þessa geislun?

Lausn

Í þessu tilfelli byrjar rafeindin með n = 4, þannig að n₁ = 4. Hún endar á brautinni n = 6, þannig að n₂ = 6. Orkumunurinn milli ástandanna tveggja er gefinn með þessari jöfnu:

Δ E = E_{1} - E_{2} = 2,179 \times 10^{−18} (\frac{1}{n_{1}^{2}} - \frac{1}{n_{2}^{2}})

Δ E = 2,179 \times 10^{−18} (\frac{1}{4^{2}} - \frac{1}{6^{2}}) J

Δ E = 2,179 \times 10^{−18} (\frac{1}{16} - \frac{1}{36}) J

Δ E = 7,566 \times 10^{−20} J

Þessi orkumunur er jákvæður, sem gefur til kynna að ljóseind fari inn í kerfið (sé gleypt) til að örva rafeindina frá n = 4 brautinni upp á n = 6 brautina. Bylgjulengd ljóseindar með þessa orku er fundin með jöfnunni ${E\text{=}\, \frac{{hc}}{λ}.}$ Umröðun gefur:

λ = \frac{h c}{E}

\begin{array}{l} = (6,626 \times 10^{−34} J s) \times \frac{2,998 \times 10^{8} m s^{−1}}{7,566 \times 10^{−20} J} \\ = 2,626 \times 10^{−6} m \end{array}

Af myndinni af rafsegulrófinu í Rafsegulorka, getum við séð að þessi bylgjulengd er að finna í innrauða hluta rafsegulrófsins.

Skoðaðu þekkingu þína

Hver er orkan í júlum og bylgjulengdin í metrum á ljóseindinni sem myndast þegar rafeind fellur úr n = 5 stiginu niður á n = 3 stigið í He⁺ jón (Z = 2 fyrir He⁺)?

Líkan Bohrs af vetnisfrumeindinni veitir innsýn í hegðun efnis á smásæjum skala, en það tekur ekki tillit til víxlverkana milli rafeinda í frumeindum með fleiri en eina rafeind. Það kynnir þó til sögunnar nokkur mikilvæg einkenni allra líkana sem notuð eru til að lýsa dreifingu rafeinda í frumeind. Þessi einkenni eru meðal annars eftirfarandi:

Orka rafeinda (orkustig) í frumeind er skömmtuð og henni er lýst með skammtatölum (e. quantum numbers): heiltölum sem hafa aðeins ákveðin leyfileg gildi og eru notaðar til að lýsa fyrirkomulagi rafeinda í frumeind.
Orka rafeindar eykst með aukinni fjarlægð frá kjarnanum.
Stöku orkugildin (línurnar) í litrófum frumefna stafa af skammtaðri rafeindaorku.

Af þessum einkennum er mikilvægust fullyrðingin um skömmtuð orkustig rafeindar í frumeind. Fyrir vikið lagði líkanið grunninn að skammtafræðilega líkaninu af frumeindinni. Bohr hlaut Nóbelsverðlaun í eðlisfræði fyrir framlag sitt til skilnings okkar á byggingu frumeinda og hvernig hún tengist útblæstri línuljósa.

Námsmarkmið