9.2 Samband þrýstings, rúmmáls, efnismagns og hitastigs: Kjörgaslögmálið

Á sautjándu og sérstaklega átjándu öld, knúin áfram bæði af löngun til að skilja náttúruna og leit að því að búa til loftbelgi sem hægt væri að fljúga í (Mynd 9.9), staðfestu nokkrir vísindamenn sambandið milli stórsærra eðliseiginleika lofttegunda, þ.e. þrýstings, rúmmáls, hitastigs og efnismagns gass. Þrátt fyrir að mælingar þeirra væru ekki nákvæmar á mælikvarða nútímans gátu þeir ákvarðað stærðfræðileg tengsl milli para þessara breyta (t.d. þrýstings og hitastigs, þrýstings og rúmmáls) sem gilda fyrir kjörgas – tilgátulegt hugtak sem raunverulegt gas nálgast við ákveðnar aðstæður. Að lokum voru þessi einstöku lögmál sameinuð í eina jöfnu – kjörgaslögmálið – sem tengir saman stærðir fyrir lofttegundir og er nokkuð nákvæm fyrir lágan þrýsting og hóflegt hitastig. Við munum skoða lykilþróun í einstökum samböndum (af kennslufræðilegum ástæðum ekki alveg í sögulegri röð) og setja þau síðan saman í kjörgaslögmálið.

This figure includes three images. Image a is a black and white image of a hydrogen balloon apparently being deflated by a mob of people. In image b, a blue, gold, and red balloon is being held to the ground with ropes while positioned above a platform from which smoke is rising beneath the balloon. In c, an image is shown in grey on a peach-colored background of an inflated balloon with vertical striping in the air. It appears to have a basket attached to its lower side. A large stately building appears in the background. — Mynd 9.9 Árið 1783 fór fram (a) fyrsta flug vetnisfyllts loftbelgs, (b) fyrsta mannaða flug loftbelgs með heitu lofti og (c) fyrsta mannaða flug vetnisfyllts loftbelgs. Þegar vetnisfyllti loftbelgurinn sem sýndur er í (a) lenti er sagt að hræddir þorpsbúar í Gonesse hafi eyðilagt hann með heykvíslum og hnífum. Sjósetningu þess síðarnefnda fylgdust að sögn 400.000 manns með í París.

Þrýstingur og hitastig: Lögmál Amontons

Ímyndaðu þér að fylla stíft ílát, sem er tengt við þrýstimæli, með gasi og loka því síðan þannig að ekkert gas sleppi út. Ef ílátið er kælt verður gasið inni í því sömuleiðis kaldara og sést að þrýstingur þess minnkar. Þar sem ílátið er stíft og vel lokað haldast bæði rúmmál og mólfjöldi gassins óbreytt. Ef við hitum kúluna verður gasið inni í henni heitara (Mynd 9.10) og þrýstingurinn eykst.

This figure includes three similar diagrams. In the first diagram to the left, a rigid spherical container of a gas to which a pressure gauge is attached at the top is placed in a large beaker of water, indicated in light blue, atop a hot plate. The needle on the pressure gauge points to the far left on the gauge. The diagram is labeled “low P” above and “hot plate off” below. The second similar diagram also has the rigid spherical container of gas placed in a large beaker from which light blue wavy line segments extend from the top of the liquid in the beaker. The beaker is situated on top of a slightly reddened circular area. The needle on the pressure gauge points straight up, or to the middle on the gauge. The diagram is labeled “medium P” above and “hot plate on medium” below. The third diagram also has the rigid spherical container of gas placed in a large beaker in which bubbles appear near the liquid surface and several wavy light blue line segments extend from the surface out of the beaker. The beaker is situated on top of a bright red circular area. The needle on the pressure gauge points to the far right on the gauge. The diagram is labeled “high P” above and “hot plate on high” below. — Mynd 9.10 Áhrif hitastigs á gasþrýsting: Þegar slökkt er á hitahrærunni er þrýstingur gassins í kúlunni tiltölulega lágur. Þegar gasið er hitað eykst þrýstingur gassins í kúlunni.

Þetta samband milli hitastigs og þrýstings sést fyrir hvaða sýni af gasi sem er lokað inni í föstu rúmmáli. Dæmi um tilraunagögn um þrýsting og hitastig er sýnt fyrir loftsýni við þessar aðstæður í Mynd 9.11. Við komumst að því að hitastig og þrýstingur eru línulega tengd og ef hitastigið er á kelvinkvarða eru P og T í beinu hlutfalli (aftur, þegar rúmmáli og mólum gass er haldið föstum); ef hitastigið á kelvinkvarða eykst um ákveðinn þátt eykst gasþrýstingurinn um sama þátt.

This figure includes a table and a graph. The table has 3 columns and 7 rows. The first row is a header, which labels the columns “Temperature, degrees C,” “Temperature, K,” and “Pressure, kPa.” The first column contains the following values from top to bottom: negative 100, negative 50, 0, 50, 100, and 150. The second column contains the values, from top to bottom, 173, 223, 273, 323, 373, and 423. The third column contains the values 36.0, 46.4, 56.7, 67.1, 77.5, and 88.0. A graph appears to the right of the table. The horizontal axis is labeled “Temperature ( K ).” with markings and labels provided for multiples of 100 beginning at 0 and ending at 500. The vertical axis is labeled “Pressure ( kPa )” with markings and labels provided for multiples of 10, beginning at 0 and ending at 100. Six data points from the table are plotted on the graph with black dots. These dots are connected with a solid black line. A dashed line extends from the data point furthest to the left to the origin. The graph shows a positive linear trend. — Mynd 9.11 Fyrir fast rúmmál og magn lofts eru þrýstingur og hitastig í beinu hlutfalli, að því tilskildu að hitastigið sé í kelvin. (Ekki er hægt að gera mælingar við lægra hitastig vegna þéttingar gassins.) Þegar þessi lína er framlengd að lægri þrýstingi nær hún þrýstingnum 0 við –273 °C, sem er 0 á kelvinkvarða og lægsta mögulega hitastig, kallað alkul.

Guillaume Amontons var fyrstur til að staðfesta sambandið milli þrýstings og hitastigs gass með raunprófun (~1700) og Joseph Louis Gay-Lussac ákvarðaði sambandið nákvæmar (~1800). Vegna þessa er P-T sambandið fyrir lofttegundir þekkt sem annaðhvort lögmál Amontons (e. amontons’s law) eða lögmál Gay-Lussacs (e. gay-lussac’s law). Undir hvoru nafni sem er segir það að þrýstingur tiltekins magns af gasi sé í beinu hlutfalli við hitastig þess á kelvinkvarða þegar rúmmálinu er haldið föstu. Stærðfræðilega má skrifa þetta:

P \propto T eða P = constant \times T eða P = k \times T

þar sem ∝ þýðir „er í hlutfalli við“ og k er hlutfallfasti sem fer eftir auðkenni, magni og rúmmáli gassins.

Fyrir innilokað gas með föstu rúmmáli er hlutfallið ${\frac{P}{T}}$ því fasti (þ.e. ${\frac{P}{T}\, =k}$ ). Ef gasið er upphaflega í „ástandi 1“ (með P = P₁ og T = T₁) og breytist síðan í „ástand 2“ (með P = P₂ og T = T₂) höfum við að ${\frac{{{P}_{1}}}{{{T}_{1}}}\, =k}$ og ${\frac{{{P}_{2}}}{{{T}_{2}}}\, =k,}$ sem einfaldast í ${\frac{{{P}_{1}}}{{{T}_{1}}}\, =\, \frac{{{P}_{2}}}{{{T}_{2}}}.}$ Þessi jafna er gagnleg fyrir útreikninga á þrýstingi og hitastigi fyrir innilokað gas með föstu rúmmáli. Athugið að hitastig verður að vera á kelvinkvarða fyrir alla útreikninga á gaslögmálum (0 á kelvinkvarða og lægsta mögulega hitastig er kallað alkul (e. absolute zero)). (Athugið einnig að það eru að minnsta kosti þrjár leiðir til að lýsa því hvernig þrýstingur gass breytist þegar hitastig þess breytist: Við getum notað gildistöflu, graf eða stærðfræðijöfnu.)

Dæmi 9.5

Spáð fyrir um breytingu á þrýstingi með hitastigi

Hárspreybrúsi er notaður þar til hann er tómur fyrir utan drifefnið, ísóbútangas.

(a) Á brúsanum er viðvörunin „Geymist aðeins við hitastig undir 120 °F (48,8 °C). Má ekki brenna.“ Hvers vegna?

(b) Gasið í brúsanum er upphaflega við 24 °C og 360 kPa og brúsinn hefur rúmmálið 350 ml. Ef brúsinn er skilinn eftir í bíl sem nær 50 °C á heitum degi, hver er þá nýr þrýstingur í brúsanum?

Lausn

(a) Dósin inniheldur ákveðið magn af ísóbútangasi í föstu rúmmáli, þannig að ef hitastigið er aukið með hitun mun þrýstingurinn aukast í réttu hlutfalli. Hátt hitastig gæti leitt til hás þrýstings sem veldur því að dósin springur. (Ísóbútan er einnig eldfimt, þannig að brennsla gæti valdið því að dósin springi.)

(b) Við erum að leita að þrýstingsbreytingu vegna hitastigsbreytingar við fast rúmmál, þannig að við munum nota lögmál Amontons/Gay-Lussac. Ef við tökum P₁ og T₁ sem upphafsgildi, T₂ sem hitastigið þar sem þrýstingurinn er óþekktur og P₂ sem óþekkta þrýstinginn, og breytum °C í K, fáum við:

\frac{P_{1}}{T_{1}} = \frac{P_{2}}{T_{2}} which means that \frac{360 kPa}{297 K} = \frac{P_{2}}{323 K}

Með því að umraða og leysa jöfnuna fæst: ${{P}_{2}=\, \frac{{360\, \text{kPa}\, \times \, 323\, \sout{\text{K}}}}{{297\, \sout{\text{K}}}}\, =390\, \text{kPa}}$

Kannaðu þekkingu þína

Sýni af köfnunarefni, N₂, tekur 45,0 ml rúmmál við 27 °C og 600 torr. Hver verður þrýstingurinn ef það er kælt niður í –73 °C á meðan rúmmálið helst óbreytt?

Rúmmál og hitastig: Lögmál Charles

Ef við fyllum blöðru af lofti og lokum henni inniheldur blaðran ákveðið magn af lofti við loftþrýsting, segjum 1 atm. Ef við setjum blöðruna í ísskáp kólnar gasið inni í henni og blaðran dregst saman (þótt bæði magn gassins og þrýstingur þess haldist óbreytt). Ef við kælum blöðruna mjög mikið dregst hún mikið saman og þenst út aftur þegar hún hitnar.

Þessi dæmi um áhrif hitastigs á rúmmál ákveðins magns af innilokuðu gasi við fastan þrýsting eiga almennt við: Rúmmálið eykst þegar hitastigið eykst og minnkar þegar hitastigið minnkar. Gögn um rúmmál og hitastig fyrir 1 móls sýni af metangasi við 1 atm eru skráð og sýnd á mynd í Mynd 9.12.

This figure includes a table and a graph. The table has 3 columns and 6 rows. The first row is a header, which labels the columns “Temperature, degrees C,” “Temperature, K,” and “Pressure, k P a.” The first column contains the values from top to bottom negative 100, negative 50, 0, 100, and 200. The second column contains the values from top to bottom 173, 223, 273, 373, and 473. The third column contains the values 14.10, 18.26, 22.40, 30.65, and 38.88. A graph appears to the right of the table. The horizontal axis is labeled “Temperature ( K ).” with markings and labels provided for multiples of 100 beginning at 0 and ending at 300. The vertical axis is labeled “Volume ( L )” with marking and labels provided for multiples of 10, beginning at 0 and ending at 30. Five data points from the table are plotted on the graph with black dots. These dots are connected with a solid black line. The graph shows a positive linear trend. — Mynd 9.12 Rúmmál og hitastig eru í línulegu sambandi fyrir 1 mól af metangasi við fastan þrýsting upp á 1 atm. Ef hitastigið er í kelvin eru rúmmál og hitastig í beinu hlutfalli. Línan stoppar við 111 K vegna þess að metan breytist í vökva við það hitastig; þegar hún er framlengd sker hún upphafspunkt grafsins, sem táknar hitastig við alkul.

Sambandið milli rúmmáls og hitastigs ákveðins magns af gasi við fastan þrýsting er þekkt sem lögmál Charles til heiðurs franska vísindamanninum og frumkvöðli í blöðruflugi, Jacques Alexandre César Charles. Lögmál Charles (e. charles’s law) segir að rúmmál ákveðins magns af gasi sé í beinu hlutfalli við hitastig þess á kelvinkvarða þegar þrýstingurinn er hafður fastur.

Stærðfræðilega má skrifa þetta sem:

V α T eða V = constant · T eða V = k · T eða V_{1} / T_{1} = V_{2} / T_{2}

þar sem k er hlutfallfasti sem fer eftir magni og þrýstingi gassins.

Fyrir innilokað gassýni með föstum þrýstingi er ${\frac{V}{T}}$ fasti (þ.e. hlutfallið = k), og eins og sést með P-T sambandinu leiðir þetta til annarrar útgáfu af lögmáli Charles: ${\frac{{{V}_{1}}}{{{T}_{1}}}\, =\, \frac{{{V}_{2}}}{{{T}_{2}}}.}$

Dæmi 9.6

Að spá fyrir um breytingu á rúmmáli með hitastigi

Sýni af koltvísýringi, CO₂, tekur 0,300 L rúmmál við 10 °C og 750 torr. Hvaða rúmmál mun gasið hafa við 30 °C og 750 torr?

Lausn

Vegna þess að við erum að leita að rúmmálsbreytingu sem stafar af hitastigsbreytingu við fastan þrýsting er þetta verkefni fyrir lögmál Charles. Ef við tökum V₁ og T₁ sem upphafsgildi, T₂ sem hitastigið þar sem rúmmálið er óþekkt og V₂ sem óþekkta rúmmálið, og breytum °C í K, fáum við:

\frac{V_{1}}{T_{1}} = \frac{V_{2}}{T_{2}} which means that \frac{0,300 L}{283 K} = \frac{V_{2}}{303 K}

Með því að umraða og leysa jöfnuna fæst: ${{V}_{2}=\, \frac{{0,300\, \text{L}\, \times \, \text{303}\, \sout{\text{K}}}}{{283\, \sout{\text{K}}}}\, =0,321\, \text{L}}$

Þetta svar styður við væntingar okkar út frá lögmáli Charles, þ.e. að hækkun á hitastigi gassins (úr 283 K í 303 K) við fastan þrýsting muni leiða til aukningar á rúmmáli þess (úr 0,300 L í 0,321 L).

Kannaðu þekkingu þína

Sýni af súrefni, O₂, tekur 32,2 ml rúmmál við 30 °C og 452 torr. Hvaða rúmmál mun það taka við –70 °C og sama þrýstingi?

Dæmi 9.7

Að mæla hitastig með rúmmálsbreytingu

Hitastig er stundum mælt með gashitamæli með því að fylgjast með breytingu á rúmmáli gassins þegar hitastigið breytist við stöðugan þrýsting. Vetnið í tilteknum vetnisgashitamæli hefur rúmmálið 150,0 cm³ þegar honum er dýft í efnablöndu af ís og vatni (0,00 °C). Þegar honum er dýft í sjóðandi fljótandi ammoníak er rúmmál vetnisins, við sama þrýsting, 131,7 cm³. Finndu hitastig sjóðandi ammoníaks á kelvin- og Celsíus-kvarða.

Lausn

Þegar hitamælinum er dýft í ísvatnsbað við 0,00 °C (T₁) er rúmmál gassins í honum 150,0 cm³ (V₁). Þegar honum er dýft í sjóðandi fljótandi ammoníak (T₂) er rúmmál gassins í honum 131,7 cm³. Sambandið milli rúmmáls og hitastigs við stöðugan þrýsting er gefið með lögmáli Charles:

\frac{V_{1}}{T_{1}} = \frac{V_{2}}{T_{2}} which means that \frac{150,0 {cm}^{3}}{273,15 K} = \frac{131,7 {cm}^{3}}{T_{2}}

Umröðun gefur ${{T}_{2}=\, \frac{{131,7\, {{\sout{{\text{cm}}}}}^{3}\, \times \, 273,15\, \text{K}}}{{150,0\, {{\sout{{\text{cm}}}}}^{3}}}\, =239,8\, \text{K}}$

Með því að draga 273,15 frá 239,8 K finnum við að hitastig sjóðandi ammoníaks á Celsíus-kvarða er –33,4 °C.

Kannaðu þekkingu þína

Hvert er rúmmál sýnis af etani við 467 K og 1,1 atm ef það tekur 405 ml við 298 K og 1,1 atm?

Rúmmál og þrýstingur: Lögmál Boyles

Ef við fyllum loftþétta sprautu að hluta með lofti inniheldur sprautan ákveðið magn af lofti við stöðugt hitastig, segjum 25 °C. Ef við þrýstum stimplinum rólega inn á meðan hitastigið er stöðugt, þjappast gasið í sprautunni saman í minna rúmmál og þrýstingur þess eykst. Ef við drögum stimpilinn út eykst rúmmálið og þrýstingurinn minnkar. Þetta dæmi um áhrif rúmmáls á þrýsting ákveðins magns af afmörkuðu gasi gildir almennt. Með því að minnka rúmmál afmarkaðs gass eykst þrýstingur þess og með því að auka rúmmál þess minnkar þrýstingur þess. Reyndar, ef rúmmálið eykst um ákveðinn þátt, minnkar þrýstingurinn um sama þátt og öfugt. Gögn um rúmmál og þrýsting fyrir loftsýni við stofuhita eru sýnd á línuriti í Mynd 9.13.

This figure contains a diagram and two graphs. The diagram shows a syringe labeled with a scale in m l or c c with multiples of 5 labeled beginning at 5 and ending at 30. The markings halfway between these measurements are also provided. Attached at the top of the syringe is a pressure gauge with a scale marked by fives from 40 on the left to 5 on the right. The gauge needle rests between 10 and 15, slightly closer to 15. The syringe plunger position indicates a volume measurement about halfway between 10 and 15 m l or c c. The first graph is labeled “V ( m L )” on the horizontal axis and “P ( p s i )” on the vertical axis. Points are labeled at 5, 10, 15, 20, and 25 m L with corresponding values of 39.0, 19.5, 13.0, 9.8, and 6.5 p s i. The points are connected with a smooth curve that is declining at a decreasing rate of change. The second graph is labeled “V ( m L )” on the horizontal axis and “1 divided by P ( p s i )” on the vertical axis. The horizontal axis is labeled at multiples of 5, beginning at zero and extending up to 35 m L. The vertical axis is labeled by multiples of 0.02, beginning at 0 and extending up to 0.18. Six points indicated by black dots on this graph are connected with a black line segment showing a positive linear trend. — Mynd 9.13 Þegar gas tekur minna rúmmál beitir það hærri þrýstingi; þegar það tekur stærra rúmmál beitir það lægri þrýstingi (að því gefnu að magn gass og hitastig breytist ekki). Þar sem P og V eru í öfugu hlutfalli er línurit af ${\frac{1}{P}}$ á móti V línulegt.

Ólíkt P-T og V-T sambandinu eru þrýstingur og rúmmál ekki í beinu hlutfalli hvort við annað. Þess í stað sýna P og V öfugt hlutfall: Aukinn þrýstingur leiðir til minnkunar á rúmmáli gassins. Stærðfræðilega má skrifa þetta:

P α 1 / V eða P = k · 1 / V eða P · V = k eða P_{1} V_{1} = P_{2} V_{2}

þar sem k er fasti. Myndrænt er þetta samband sýnt með beinni línu sem myndast þegar andhverfa þrýstingsins ${{({\frac{1}{P}})}}$ er sett á línurit á móti rúmmálinu (V), eða andhverfa rúmmálsins ${{({\frac{1}{V}})}}$ á móti þrýstingnum (P). Erfitt er að lesa nákvæmlega af línuritum með sveigðum línum við lág eða há gildi breytanna og erfiðara er að nota þau til að aðlaga fræðilegar jöfnur og færibreytur að tilraunagögnum. Af þeim sökum reyna vísindamenn oft að finna leið til að „línulega“ gögnin sín. Ef við setjum P á línurit á móti V fáum við breiðboga (sjá Mynd 9.14).

This diagram shows two graphs. In a, a graph is shown with volume on the horizontal axis and pressure on the vertical axis. A curved line is shown on the graph showing a decreasing trend with a decreasing rate of change. In b, a graph is shown with volume on the horizontal axis and one divided by pressure on the vertical axis. A line segment, beginning at the origin of the graph, shows a positive, linear trend. — Mynd 9.14 Sambandið milli þrýstings og rúmmáls er í öfugu hlutfalli. (a) Línuritið af P á móti V er breiðbogi, en (b) línuritið af ${{({\frac{1}{P}})}}$ á móti V er línulegt.

Sambandið milli rúmmáls og þrýstings ákveðins magns af gasi við stöðugt hitastig var fyrst gefið út af enska náttúruspekingnum Robert Boyle fyrir meira en 300 árum. Það er tekið saman í fullyrðingunni sem nú er þekkt sem lögmál Boyles (e. boyle’s law): Rúmmál ákveðins magns af gasi sem haldið er við stöðugt hitastig er í öfugu hlutfalli við þrýstinginn sem það er mælt við.

Dæmi 9.8

Rúmmál gassýnis

Gassýnið í Mynd 9.13 hefur rúmmálið 15,0 ml við þrýstinginn 13,0 psi. Ákvarðaðu þrýsting gassins við rúmmálið 7,5 ml með því að nota:

(a) P-V línuritið í Mynd 9.13

(b) ${\frac{1}{P}}$ á móti V línuritið í Mynd 9.13

Gerðu athugasemd við líklega nákvæmni hverrar aðferðar.

Lausn

(a) Mat út frá P-V línuritinu gefur gildi fyrir P einhvers staðar í kringum 27 psi.

(b) Ef áætlað er út frá grafinu ${\frac{1}{P}}$ á móti V fæst gildi sem er um 26 psi.

(c) Samkvæmt lögmáli Boyles vitum við að margfeldi þrýstings og rúmmáls (PV) fyrir tiltekið gassýni við fast hitastig er alltaf jafnt sama gildinu. Þess vegna höfum við P₁V₁ = k og P₂V₂ = k sem þýðir að P₁V₁ = P₂V₂.

Ef við notum P₁ og V₁ sem þekktu gildin 13,0 psi og 15,0 ml, P₂ sem þrýstinginn þar sem rúmmálið er óþekkt og V₂ sem óþekkta rúmmálið, höfum við:

P_{1} V_{1} = P_{2} V_{2} eða 13,0 psi \times 15,0 mL = P_{2} \times 7,5 mL

Lausn:

P_{2} = \frac{13,0 psi \times 15,0 mL}{7,5 mL} = 26 psi

Það var erfiðara að áætla vel út frá P-V grafinu, þannig að (a) er líklega ónákvæmara en (b) eða (c). Útreikningurinn verður jafn nákvæmur og jafnan og mælingarnar leyfa.

Kannaðu þekkingu þína

Gassýnið í Mynd 9.13 hefur rúmmálið 30,0 ml við þrýstinginn 6,5 psi. Ákvarðaðu rúmmál gassins við þrýstinginn 11,0 psi með því að nota:

(a) P-V grafið í Mynd 9.13

(b) ${\frac{1}{P}}$ á móti V grafið í Mynd 9.13

Gerðu athugasemd við líklega hittni hverrar aðferðar.

Efnafræði í daglegu lífi

Öndun og lögmál Boyles

Hvað gerir þú um 20 sinnum á mínútu alla ævi, án afláts og oft án þess að vera meðvitaður um það? Svarið er auðvitað öndun. Hvernig virkar hún? Það kemur í ljós að gaslögmálin eiga við hér. Lungun þín taka inn gas sem líkaminn þarf á að halda (súrefni) og losa sig við úrgangsgas (koldíoxíð). Lungun eru gerð úr svampkenndum, teygjanlegum vef sem þenst út og dregst saman á meðan þú andar. Þegar þú andar inn dragast þindin og millirifjavöðvarnir (vöðvarnir milli rifbeinanna) saman, stækka brjóstholið og auka rúmmál lungnanna. Aukningin á rúmmáli leiðir til lækkunar á þrýstingi (lögmál Boyles). Þetta veldur því að loft streymir inn í lungun (frá háum þrýstingi til lágs þrýstings). Þegar þú andar frá þér snýst ferlið við: Þindin og rifjavöðvarnir slaka á, brjóstholið dregst saman og rúmmál lungnanna minnkar, sem veldur því að þrýstingurinn eykst (aftur lögmál Boyles) og loft streymir út úr lungunum (frá háum þrýstingi til lágs þrýstings). Þú andar svo inn og út aftur og aftur og endurtekur þessa hringrás lögmáls Boyles það sem eftir er ævinnar (Mynd 9.15).

Mynd 9.15 Öndun á sér stað vegna þess að stækkun og samdráttur lungnarúmmáls skapar lítinn þrýstingsmun milli lungnanna og umhverfisins, sem veldur því að loft dregst inn í og þrýstist út úr lungunum.

Mól af gasi og rúmmál: Lögmál Avogadros

Ítalski vísindamaðurinn Amedeo Avogadro setti fram tilgátu árið 1811 til að útskýra hegðun lofttegunda og sagði að jafnt rúmmál allra lofttegunda, mælt við sömu skilyrði hitastigs og þrýstings, innihaldi sama fjölda sameinda. Með tímanum var þetta samband stutt af mörgum tilraunaathugunum eins og það er sett fram í lögmáli Avogadros (e. avogadro’s law): Fyrir innilokað gas eru rúmmál (V) og fjöldi móla (n) í beinu hlutfalli ef þrýstingur og hitastig haldast bæði föst.

Í jöfnuformi er þetta skrifað sem:

\begin{matrix} V \propto n & eða & V = k \times n & eða & \frac{V_{1}}{n_{1}} = \frac{V_{2}}{n_{2}} \end{matrix}

Einnig er hægt að ákvarða stærðfræðileg sambönd fyrir hin breytupörin, svo sem P á móti n og n á móti T.

Kjörgaslögmálið

Hingað til hafa verið rædd fjögur aðskilin lögmál sem tengja saman þrýsting, rúmmál, hitastig og mólfjölda gass:

Lögmál Boyles: PV = fasti við óbreytt T og n
Lögmál Amontons: ${\frac{P}{T}}$ = fasti við óbreytt V og n
Lögmál Charles: ${\frac{V}{T}}$ = fasti við óbreytt P og n
Lögmál Avogadros: ${\frac{V}{n}}$ = fasti við óbreytt P og T

Með því að sameina þessi fjögur lögmál fæst kjörgaslögmálið (e. ideal gas law), sem er samband milli þrýstings, rúmmáls, hitastigs og mólfjölda gass:

P V = n R T

þar sem P er þrýstingur gass, V er rúmmál þess, n er mólfjöldi gassins, T er hitastig þess á kelvinkvarða og R er fasti sem kallast gasfastinn (e. ideal gas constant) eða alheims gasfastinn. Einingarnar sem notaðar eru til að tákna þrýsting, rúmmál og hitastig ákvarða rétt form gasfastans eins og krafist er í einingagreiningu. Algengustu gildin eru 0,08206 L atm mól^–1 K^–1 og 8,314 kPa L mól^–1 K^–1.

Gös þar sem eiginleikarnir P, V og T eru nákvæmlega lýst með kjörgaslögmálinu (eða öðrum gaslögmálum) eru sögð sýna kjörhegðun eða nálgast eiginleika kjörgass (e. ideal gas). Kjörgas er fræðileg smíð sem má nota ásamt hreyfiorkukenningu sameinda til að útskýra gaslögmálin á skilvirkan hátt, eins og lýst verður í síðari einingu þessa kafla. Þrátt fyrir að allir útreikningar sem sýndir eru í þessari einingu geri ráð fyrir kjörhegðun, er þessi forsenda aðeins raunhæf fyrir gös við tiltölulega lágan þrýsting og hátt hitastig. Í síðustu einingu þessa kafla verður kynnt breytt gaslögmál sem tekur tillit til ókjörhegðunar sem sést hjá mörgum gösum við tiltölulega háan þrýsting og lágt hitastig.

Kjörgasjafnan inniheldur fimm liði, gasfastann R og breytilegu eiginleikana P, V, n og T. Með því að tilgreina fjóra þessara liða er hægt að nota kjörgaslögmálið til að reikna út fimmta liðinn eins og sýnt er í eftirfarandi dæmum.

Dæmi 9.9

Notkun kjörgaslögmálsins

Verið er að íhuga notkun metans, CH₄, sem annars konar eldsneytis fyrir ökutæki í stað bensíns. Eitt gallon af bensíni gæti verið skipt út fyrir 655 g af CH₄. Hvert er rúmmál þessa magns af metani við 25 °C og 745 torr?

Lausn

Við verðum að endurraða PV = nRT til að leysa fyrir V: ${V=\, \frac{{nRT}}{P}}$

Ef við veljum að nota R = 0,08206 L atm mól^–1 K^–1, þá verður magnið að vera í mólum, hitastigið í kelvinum og þrýstingurinn í atm.

Umbreyting í „réttar“ einingar:

n = 6 55 g {CH}_{4} \times \frac{1 mol}{16,043 {g CH}_{4}} = 40,8 mol

T = 25 °C + 273 = 298 K

P = 745 torr \times \frac{1 atm}{760 torr} = 0,980 atm

V = \frac{n R T}{P} = \frac{(40,8 mol) (0,08206 L {atm mol}^{–1} K^{–1}) (298 K)}{0,980 atm} = 1,02 \times 10^{3} L

Það þyrfti 1020 L (269 gal) af metani á gasformi við um það bil 1 atm þrýsting til að koma í staðinn fyrir 1 gal af bensíni. Það þarf stórt ílát til að geyma nóg metan við 1 atm til að koma í staðinn fyrir nokkur gallon af bensíni.

Kannaðu þekkingu þína

Reiknaðu þrýstinginn í börum fyrir 2520 mól af vetnisgasi sem geymt er við 27 °C í 180 L geymslutanki nútíma vetnisknúins bíls.

Ef mólfjöldi kjörgas er haldið föstum við tvær mismunandi aðstæður fæst gagnlegt stærðfræðilegt samband sem kallast sameinaða gaslögmálið: ${\frac{{{P}_{1}{V}_{1}}}{{{T}_{1}}}\, =\, \frac{{{P}_{2}{V}_{2}}}{{{T}_{2}}}}$ með einingunum atm, L og K. Báðar aðstæðurnar eru jafnar margfeldi n ${\times}$ R (þar sem n = mólfjöldi gassins og R er kjörgasfastinn).

Dæmi 9.10

Notkun sameinaða gaslögmálsins

Þegar dæmigerður köfunarkútur með 13,2 L rúmmáli er fylltur með lofti er þrýstingurinn 153 atm (Mynd 9.16). Ef hitastig vatnsins er 27 °C, hversu marga lítra af lofti mun slíkur kútur veita lungum kafara á um það bil 70 feta dýpi í sjónum þar sem þrýstingurinn er 3,13 atm?

Mynd 9.16 Scuba divers use compressed air to breathe while underwater. (credit: modification of work by Mark Goodchild)

Lausn

Látum 1 tákna loftið í köfunarkútnum og 2 tákna loftið í lungunum, og athugum að líkamshiti (hitastigið sem loftið verður í lungunum) er 37 °C, þá höfum við:

\frac{P_{1} V_{1}}{T_{1}} = \frac{P_{2} V_{2}}{T_{2}} ⟶ \frac{(153 atm) (13,2 L)}{(300 K)} = \frac{(3,13 atm) (V_{2})}{(310 K)}

Leysum fyrir V₂:

V_{2} = \frac{(153 atm) (13,2 L) (310 K)}{(300 K) (3,13 atm)} = 667 L

(Athugið: Vertu meðvitaður um að þetta tiltekna dæmi er eitt þar sem forsendan um hegðun kjörgass er ekki mjög sanngjörn, þar sem hún felur í sér lofttegundir við tiltölulega háan þrýsting og lágt hitastig. Þrátt fyrir þessa takmörkun má líta á útreiknað rúmmál sem góða áætlun „gróflega áætlað“.)

Kannaðu þekkingu þína

Sýni af ammóníaki reynist taka 0,250 L rúmmál við rannsóknarstofuaðstæður, 27 °C og 0,850 atm. Finndu rúmmál þessa sýnis við 0 °C og 1,00 atm.

Efnafræði í daglegu lífi

Innbyrðis háð sjávardýpis og þrýstings í sportköfun

Hvort sem kafað er við Kóralrifið mikla í Ástralíu (sýnt í Mynd 9.17) eða í Karíbahafi verða kafarar að skilja hvernig þrýstingur hefur áhrif á fjölda mála sem tengjast þægindum þeirra og öryggi.

Mynd 9.17 Kafarar, hvort sem er við Kóralrifið mikla eða í Karíbahafi, verða að vera meðvitaðir um flothæfni, þrýstijöfnun og þann tíma sem þeir eyða neðansjávar til að forðast áhættuna sem fylgir lofttegundum undir þrýstingi í líkamanum. (heimild: Kyle Taylor)

Þrýstingur eykst með dýpi í sjó og breytist hraðast þegar kafarar nálgast yfirborðið. Þrýstingurinn sem kafari verður fyrir er summa alls þrýstings fyrir ofan hann (frá vatni og lofti). Flestar þrýstimælingar eru gefnar í einingunni andrúmsloft, sem er kallað „alþrýstingur“ eða ATA í kafarasamfélaginu: Hverjir 33 fet af saltvatni jafngilda 1 ATA af þrýstingi auk 1 ATA af þrýstingi frá andrúmsloftinu við sjávarmál. Þegar kafari fer niður veldur aukinn þrýstingur því að loftvasar líkamans í eyrum og lungum þjappast saman; við uppstig veldur minnkandi þrýstingur því að þessir loftvasar þenjast út, sem getur hugsanlega rofið hljóðhimnur eða sprengt lungun. Kafarar verða því að jafna þrýsting með því að bæta lofti í loftrými líkamans á leið niður með því að anda eðlilega og bæta lofti í grímuna með því að anda út um nefið eða bæta lofti í eyru og skúta með jöfnunaraðferðum; hið gagnstæða gildir einnig við uppstig, kafarar verða að losa loft úr líkamanum til að viðhalda jöfnun. Flothæfni, eða hæfnin til að stjórna því hvort kafari sekkur eða flýtur, er stjórnað af flotvesti (BCD). Ef kafari er að stíga upp þenst loftið í flotvestinu út vegna lægri þrýstings samkvæmt lögmáli Boyles (minnkandi þrýstingur lofttegunda eykur rúmmál). Útþanið loft eykur flothæfni kafarans og hann byrjar að stíga upp. Kafarinn verður að hleypa lofti úr flotvestinu, annars er hætta á stjórnlausu uppstigi sem gæti rofið lungun. Við niðurstig veldur aukinn þrýstingur því að loftið í flotvestinu þjappast saman og kafarinn sekkur mun hraðar; kafarinn verður að bæta lofti í flotvestið, annars er hætta á stjórnlausu niðurstigi þar sem hann stendur frammi fyrir mun hærri þrýstingi nálægt sjávarbotninum. Þrýstingurinn hefur einnig áhrif á hversu lengi kafari getur verið neðansjávar áður en hann stígur upp. Því dýpra sem kafari kafar, því meira þjappast loftið sem hann andar að sér saman vegna aukins þrýstings: Ef kafari kafar niður á 33 fet er þrýstingurinn 2 ATA og loftið þjappast saman í helming af upprunalegu rúmmáli sínu. Kafarinn notar tiltækt loft tvöfalt hraðar en við yfirborðið.

Staðalaðstæður hitastigs og þrýstings

Við höfum séð að rúmmál gefins magns af gasi og fjöldi sameinda (móla) í gefnu rúmmáli af gasi breytast með breytingum á þrýstingi og hitastigi. Efnafræðingar gera stundum samanburð við staðalhitastig og -þrýsting (STP) (e. standard temperature and pressure (stp)) þegar þeir gefa upp eiginleika lofttegunda: 273,15 K og 1 atm (101,325 kPa). ¹ Við STP hefur eitt mól af kjörgasi rúmmál um 22,4 L – þetta er kallað staðalmólrúmmál (e. standard molar volume) (Mynd 9.18).

This figure shows three balloons each filled with He, NH subscript 2, and O subscript 2, respectively. Beneath the first balloon is the label “4 g of He” Beneath the second balloon is the label, “17 g of NH subscript 2.” Beneath the third balloon is the label “32 g of O subscript 2.” Each balloon contains the same number of molecules of their respective gases. — Mynd 9.18 Óháð efnafræðilegri samsetningu tekur eitt mól af gasi sem hegðar sér sem kjörgas rúmmál sem er ~22,4 L við STP.

Neðanmálsgreinar

Skilgreining IUPAC á staðalþrýstingi var breytt úr 1 atm í 1 bar (100 kPa) árið 1982, en fyrri skilgreiningin er enn í notkun í mörgum heimildum og verður notuð í þessum texta. ↩

Námsmarkmið