13.4 Jafnvægisútreikningar

Eftir að hafa farið yfir grundvallarhugtök efnafræðilegs jafnvægis í fyrri köflum þessarar bókar mun þessi lokakafli sýna fram á hagnýtari þátt þess að nota þessi hugtök og viðeigandi stærðfræðilegar aðferðir til að framkvæma ýmsa jafnvægisútreikninga. Þessar tegundir útreikninga eru nauðsynlegar á mörgum sviðum vísinda og tækni – til dæmis við samsetningu og skömmtun lyfja. Eftir að lyf er tekið inn eða því sprautað í líkamann tekur það yfirleitt þátt í nokkrum efnafræðilegum jafnvægum sem hafa áhrif á endanlegan styrk þess í viðkomandi líkamskerfi. Þekking á magnbundnum þáttum þessara jafnvægis er nauðsynleg til að reikna út skammtastærð sem mun framkalla tilætluð lækningaáhrif.

Margir af þeim gagnlegu jafnvægisútreikningum sem sýndir verða hér krefjast liða sem tákna breytingar á styrk hvarfefna og myndefna. Þessir liðir eru leiddir út frá hlutfallaefnafræði efnahvarfsins, eins og sýnt er með sundrun ammoníaks:

2 {NH}_{3} (g) \overset{}{⇌} N_{2} (g) + 3 H_{2} (g)

Eins og sýnt var fyrr í þessum kafla getur þetta jafnvægi komist á í lokuðu íláti sem inniheldur í upphafi annaðhvort aðeins NH₃ eða efnablöndu af einhverjum tveimur af þeim þremur efnategundum sem taka þátt í jafnvæginu. Óháð upphafssamsetningu mun hvarfblanda sýna sömu tengsl milli breytinga á styrk þriggja efnatengundanna sem hlut eiga að máli, eins og hlutfallaefnafræði efnahvarfsins segir til um (sjá einnig tengt efni um tjáningu hvarfhraða í kaflanum um hvarfahvata). Til dæmis, ef styrkur niturs eykst um stærðina x:

Δ [N_{2}] = + x

eru samsvarandi breytingar á styrk hinna efnatengundanna

Δ [H_{2}] = Δ [N_{2}] (\frac{3 mol H_{2}}{1 mol N_{2}}) = +3 x

Δ [{NH}_{3}] = − Δ [N_{2}] (\frac{2 mol {NH}_{3}}{1 mol N_{2}}) = −2 x

þar sem neikvæða formerkið táknar minnkun á styrk.

Útreikningur á jafnvægisfasta

Jafnvægisfasti fyrir efnahvarf er reiknaður út frá jafnvægisstyrk (eða jafnvægisþrýstingi) hvarfefna og myndefna þess. Ef þessi styrkur er þekktur felur útreikningurinn einfaldlega í sér að setja þá inn í jafnvægislíkinguna, eins og sýnt var í Dæmi 13.2. Næst er gefið aðeins flóknara dæmi þar sem hlutfallaefnafræði efnahvarfsins er notuð til að leiða út jafnvægisstyrk út frá uppgefnum upplýsingum. Grundvallaraðferð þessa útreiknings er gagnleg fyrir margar tegundir jafnvægisútreikninga og byggir á notkun liða fyrir styrk hvarfefna og myndefna sem eru til staðar í upphafi, hvernig þeir breytast eftir því sem efnahvarfið gengur áfram og hverjir þeir eru þegar kerfið nær jafnvægi. Skammstöfunin UBJ er almennt notuð til að vísa til þessarar stærðfræðilegu aðferðar og styrkliðunum er venjulega safnað saman í töfluformi sem kallast UBJ-tafla.

Dæmi 13.7

Útreikningur á jafnvægisfasta

Joðsameindir hvarfast andhverfanlega við joðíðjónir og mynda þríjoðíðjónir.

I_{2} (a q) + I^{−} (a q) ⇌ I_{3}^{−} (a q)

Ef lausn með styrk I₂ og I⁻ sem er jafn 1,000 $\times$ 10⁻³ M fyrir efnahvarf gefur jafnvægisstyrk I₂ upp á 6,61 $\times$ 10⁻⁴ M, hver er þá jafnvægisfastinn fyrir efnahvarfið?

Lausn

Til að reikna út jafnvægisfastana þarf jafnvægisstyrk fyrir öll hvarfefni og myndefni:

K_{C} = \frac{[{I_{3}}^{-}]}{[I_{2}] [I^{−}]}

Upphafsstyrkur hvarfefnanna og jafnvægisstyrkur myndefnisins eru gefin. Notaðu þessar upplýsingar til að leiða út liði fyrir jafnvægisstyrk hvarfefnanna og settu allar upplýsingarnar fram í UBJ-töflu.

Við jafnvægi er styrkur I₂ 6,61 $\times$ 10⁻⁴ M þannig að

1,000 \times 10^{−3} - x = 6,61 \times 10^{−4}

x = 1,000 \times 10^{−3} - 6,61 \times 10^{−4}

= 3,39 \times 10^{−4} M

Nú má uppfæra ICE-töfluna með tölugildum fyrir alla styrki:

Að lokum skal setja jafnvægisstyrkina inn í jafnvægisfastajöfnuna K og leysa:

K_{c} = \frac{[I_{3}^{−}]}{[I_{2}] [I^{−}]}

= \frac{3,39 \times 10^{−4} M}{(6,61 \times 10^{−4} M) (6,61 \times 10^{−4} M)} = 776

Kannaðu þekkingu þína

Etanól og ediksýra hvarfast og mynda vatn og etýlasetat, leysinn sem veldur lyktinni af sumum naglalakkshreinsum.

C_{2} H_{5} OH + {CH}_{3} {CO}_{2} H ⇌ {CH}_{3} {CO}_{2} C_{2} H_{5} + H_{2} O

Þegar 1 mól af hvoru efni, C₂H₅OH og CH₃CO₂H, fær að hvarfast í 1 L af leysinum díoxani, næst jafnvægi þegar ${\frac{1}{3}}$ mól af hvoru hvarfefni er eftir. Reiknaðu jafnvægisfastann fyrir efnahvarfið. (Athugið: Vatn er leysið efni í þessu efnahvarfi.)

Útreikningur á óþekktum jafnvægisstyrk

Þegar jafnvægisfastinn og allir nema einn jafnvægisstyrkur eru gefnir er hægt að reikna út hinn jafnvægisstyrkinn (eða styrkina). Slíkur útreikningur er sýndur í næsta dæmi.

Dæmi 13.8

Útreikningur á óþekktum jafnvægisstyrk

Nituroxíð eru loftmengunarefni sem myndast við efnahvarf niturs og súrefnis við hátt hitastig. Við 2000 °C er gildi K_c fyrir efnahvarfið, ${{\text{N}}_{2}(g)+{\text{O}}_{2}(g)⇌2\text{NO}(g),}$ , 4,1 $\times$ 10⁻⁴. Reiknaðu jafnvægisstyrk NO(g) í lofti við 1 atm þrýsting og 2000 °C. Jafnvægisstyrkur N₂ og O₂ við þennan þrýsting og hitastig er 0,036 M og 0,0089 M, í sömu röð.

Lausn

Settu gefnar stærðir inn í jöfnu jafnvægisfastans og leystu fyrir [NO]:

K_{c} = \frac{{[NO]}^{2}}{[N_{2}] [O_{2}]}

{[NO]}^{2} = K_{c} [N_{2}] [O_{2}]

[NO] = \sqrt{K_{c} [N_{2}] [O_{2}]}

= \sqrt{(4,1 \times 10^{−4}) (0,036) (0,0089)}

= \sqrt{1,31 \times 10^{−7}}

= 3,6 \times 10^{−4}

Þannig er [NO] 3,6 $\times$ 10⁻⁴ mól/L við jafnvægi við þessar aðstæður.

Til að staðfesta þessa niðurstöðu má nota hana ásamt gefnum jafnvægisstyrkjum til að reikna gildi fyrir K:

K_{c} = \frac{{[NO]}^{2}}{[N_{2}] [O_{2}]}

= \frac{{(3,6 \times 10^{−4})}^{2}}{(0,036) (0,0089)}

= 4,0 \times 10^{−4}

Þessi niðurstaða er í samræmi við gefið gildi fyrir K innan nafnóvissu og skekur aðeins um 1 í síðasta markverða tölustaf.

Kannaðu þekkingu þína

Jafnvægisfastinn K_c fyrir efnahvarf niturs og vetnis til að mynda ammóníak við ákveðið hitastig er 6,00 $\times$ 10⁻². Reiknaðu jafnvægisstyrk ammóníaks ef jafnvægisstyrkur niturs og vetnis er 4,26 M og 2,09 M, í sömu röð.

Útreikningur á jafnvægisstyrkjum út frá upphafsstyrkjum

Kannski er erfiðasta tegund jafnvægisútreikninga sú þar sem jafnvægisstyrkir eru leiddir út frá upphafsstyrkjum og jafnvægisfasta. Fyrir slíka útreikninga er yfirleitt gagnlegt að nota fjögurra þrepa aðferð:

Ákvarðaðu í hvaða átt efnahvarfið mun ganga til að ná jafnvægi.
Búðu til ICE-töflu.
Reiknaðu styrkbreytingarnar og síðan jafnvægisstyrkina.
Staðfestu útreiknaða jafnvægisstyrki.

Síðustu tvö dæmin í þessum kafla sýna notkun þessarar aðferðar.

Dæmi 13.9

Útreikningur á jafnvægisstyrkjum

Við ákveðnar aðstæður er jafnvægisfastinn K_c fyrir niðurbrot PCl₅(g) í PCl₃(g) og Cl₂(g) 0,0211. Hver er jafnvægisstyrkur PCl₅, PCl₃ og Cl₂ í efnablöndu sem innihélt upphaflega aðeins PCl₅ með styrkinn 1,00 M?

Lausn

Notaðu skref-fyrir-skref aðferðina sem lýst var áður.

Ákvarðaðu í hvaða átt efnahvarfið gengur.Stöðluð jafna fyrir niðurbrot PCl₅ er
${PCl}_{5} (g) ⇌ {PCl}_{3} (g) + {Cl}_{2} (g)$
Þar sem aðeins hvarfefnið er til staðar í upphafi er Q_c = 0 og efnahvarfið mun ganga til hægri.
Búðu til ICE-töflu.
Leysið fyrir breytingunni og jafnvægisstyrknum.Með því að setja jafnvægisstyrkinn inn í jöfnu jafnvægisfastans fæst
$K_{c} = \frac{[{PCl}_{3}] [{Cl}_{2}]}{[{PCl}_{5}]} = 0,0211$
$= \frac{(x) (x)}{(1,00 - x)}$
$0,0211 = \frac{(x) (x)}{(1,00 - x)}$
$0,0211 (1,00 - x) = x^{2}$
$x^{2} + 0,0211 x - 0,0211 = 0$
Appendix B sýnir að jöfnu á forminu ax² + bx + c = 0 er hægt að endurraða til að leysa fyrir x:
$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
Í þessu tilfelli er a = 1, b = 0,0211 og c = −0,0211. Með því að setja inn viðeigandi gildi fyrir a, b og c fæst:
$x = \frac{- 0,0211 \pm \sqrt{{(0,0211)}^{2} - 4 (1) (−0,0211)}}{2 (1)}$
$= \frac{- 0,0211 \pm \sqrt{(4,45 \times 10^{−4}) + (8,44 \times 10^{−2})}}{2}$
$= \frac{- 0,0211 \pm 0,291}{2}$
Rætur annars stigs jöfnunnar eru því tvær,
$x = \frac{- 0,0211 + 0,291}{2} = 0,135$
og
$x = \frac{- 0,0211 - 0,291}{2} = −0,156$
Í þessari atburðarás hefur aðeins jákvæða rótin eðlisfræðilega merkingu (styrkur er annaðhvort núll eða jákvæður), og því er x = 0,135 M.Jafnvægisstyrkurinn er
$[{PCl}_{5}] = 1,00 - 0,135 = 0,87 M$
$[{PCl}_{3}] = x = 0,135 M$
$[{Cl}_{2}] = x = 0,135 M$
Staðfestið útreiknaðan jafnvægisstyrk.Innsetning í jöfnuna fyrir K_c (til að yfirfara útreikninginn) gefur
$K_{c} = \frac{[{PCl}_{3}] [{Cl}_{2}]}{[{PCl}_{5}]} = \frac{(0,135) (0,135)}{0,87} = 0,021$
Jafnvægisfastinn, reiknaður út frá jafnvægisstyrknum, er jafngildur því gildi K_c sem gefið var upp í dæminu (þegar námundað er að réttum fjölda markverðra stafa).

Kannið þekkingu ykkar

Ediksýra, CH₃CO₂H, hvarfast við etanól, C₂H₅OH, og myndar vatn og etýlasetat, CH₃CO₂C₂H₅.

{CH}_{3} {CO}_{2} H + C_{2} H_{5} OH ⇌ {CH}_{3} {CO}_{2} C_{2} H_{5} + H_{2} O

Jafnvægisfastinn fyrir þetta efnahvarf með díoxan sem leysi er 4,0. Hver er jafnvægisstyrkurinn fyrir efnablöndu sem er í upphafi 0,15 M í CH₃CO₂H, 0,15 M í C₂H₅OH, 0,40 M í CH₃CO₂C₂H₅ og 0,40 M í H₂O?

Kannið þekkingu ykkar

1,00 lítra flaska er fyllt með 1,00 móli af H₂ og 2,00 mólum af I₂. Gildi jafnvægisfastans fyrir efnahvarf vetnis og joðs sem mynda vetnisjoðíð er 50,5 við gefnar aðstæður. Hver er jafnvægisstyrkur H₂, I₂ og HI í mólum/L?

H_{2} (g) + I_{2} (g) ⇌ 2 HI (g)

Dæmi 13.10

Útreikningur á jafnvægisstyrk með nálgun sem einfaldar algebru

Hver er jafnvægisstyrkurinn í 0,15 M lausn af HCN?

HCN (a q) ⇌ H^{+} (a q) + {CN}^{−} (a q) K_{c} = 4,9 \times 10^{−10}

Lausn

Með því að nota „x“ til að tákna styrk hvers myndefnis við jafnvægi fæst þessi UBB-tafla.

Setjið jafnvægisstyrksliðina inn í jöfnuna fyrir K_c

K_{c} = \frac{(x) (x)}{0,15 - x}

endurraðið í annars stigs jöfnu og leysið fyrir x

x^{2} + 4,9 \times 10^{−10} x - 7,35 \times 10^{−11} = 0

x = 8,56 \times 10^{−6} M (3 sig. figs.) = 8,6 \times 10^{−6} M (2 sig. figs.)

Þannig er [H⁺] = [CN^–] = x = 8,6 $\times$ 10^–6 M og [HCN] = 0,15 – x = 0,15 M.

Takið eftir að í þessu tilfelli er breytingin á styrknum verulega minni en upphafsstyrkurinn (sem er afleiðing af lágum K) og því verður óveruleg breyting á upphafsstyrknum:

if x ≪ 0,15 M, then (0,15 - x) \approx 0,15

Þessi nálgun gerir kleift að beita fljótlegri stærðfræðilegri aðferð við útreikninginn sem kemur í veg fyrir að þurfi að leysa rætur annars stigs jöfnu:

K_{c} = \frac{(x) (x)}{0,15 - x} \approx \frac{x^{2}}{0,15}

4,9 \times 10^{−10} = \frac{x^{2}}{0,15}

x^{2} = (0,15) (4,9 \times 10^{−10}) = 7,4 \times 10^{−11}

x = \sqrt{7,4 \times 10^{−11}} = 8,6 \times 10^{−6} M

Gildið fyrir x sem reiknað er út er vissulega mun minna en upphafsstyrkurinn

8,6 \times 10^{−6} ≪ 0,15

og því var nálgunin réttlætanleg. Ef þessi einfaldaða aðferð gæfi gildi fyrir x sem ekki réttlætti nálgunina, þyrfti að endurtaka útreikninginn án þess að nota nálgunina.

Kannaðu þekkingu þína

Hver er jafnvægisstyrkurinn í 0,25 M NH₃ lausn?

{NH}_{3} (a q) + H_{2} O (l) ⇌ {NH}_{4}^{+} (a q) + {OH}^{−} (a q) K_{c} = 1,8 \times 10^{−5}

Námsmarkmið