21.1 Gerð og stöðugleiki kjarna

Kjarnaefnafræði (e. nuclear chemistry) er fræðigrein sem fæst við rannsóknir á efnahvörfum sem fela í sér breytingar á gerð kjarna. Í kaflanum um frumeindir, sameindir og jónir var farið yfir grunnhugmyndina um gerð kjarna, þ.e. að kjarni frumeindar sé samsettur úr róteindum og, að undanskildu ${_{1}^{1}\text{H},}$ , nifteindum. Rifjum upp að fjöldi róteinda í kjarna er kallaður sætistala (Z) frumefnisins og summa fjölda róteinda og nifteinda er massatala (A). Frumeindir með sömu sætistölu en mismunandi massatölu eru samsætur sama frumefnis. Þegar vísað er til einnar ákveðinnar tegundar kjarna notum við oft hugtakið kjarnategund (e. nuclide) og auðkennum hana með rithættinum ${_{\text{Z}}^{\text{A}}\text{X},}$ þar sem X er tákn frumefnisins, A er massatalan og Z er sætistalan (til dæmis $_{{\, 6}}^{14}\text{C}).$ ). Oft er vísað til kjarnategundar með nafni frumefnisins, bandstriki og massatölunni. Til dæmis er $_{{\, 6}}^{14}\text{C}$ kallað „kolefni-14“.

Róteindir og nifteindir, sem sameiginlega eru kallaðar kjarnaeindir (e. nucleons), eru þéttpakkaðar saman í kjarna. Með radíus um 10⁻¹⁵ metra er kjarni frekar lítill í samanburði við radíus allrar frumeindarinnar, sem er um 10⁻¹⁰ metrar. Kjarnar eru gríðarlega þéttir í samanburði við efni í heild, með eðlismassa að meðaltali 1,8 $\times$ 10¹⁴ grömm á rúmsentimetra. Til dæmis hefur vatn eðlismassa upp á 1 gramm á rúmsentimetra og iridíum, eitt þéttasta frumefni sem þekkt er, hefur eðlismassa upp á 22,6 g/cm³. Ef eðlismassi jarðar væri jafn meðaleðlismassa kjarna væri radíus jarðar aðeins um 200 metrar (raunverulegur radíus jarðar er um það bil 6,4 $\times$ 10⁶ metrar, 30.000 sinnum stærri). Dæmi 21.1 sýnir hversu mikill eðlismassi kjarna getur verið í náttúrunni.

Dæmi 21.1

Eðlismassi nifteindastjörnu

Nifteindastjörnur myndast þegar kjarni mjög massamikillar stjörnu verður fyrir þyngdarhruni, sem veldur því að ytri lög stjörnunnar springa í sprengistjörnu. Þær eru nánast alfarið samsettar úr nifteindum og eru þéttustu þekktu stjörnur alheimsins, með eðlismassa sem er sambærilegur við meðaleðlismassa frumeindarkjarna. Nifteindastjarna í fjarlægri vetrarbraut hefur massa sem jafngildir 2,4 sólmössum (1 sólar massi = ${{\text{M}}_{\text{☉}}}$ = massi sólar = 1,99 $\times$ 10³⁰ kg) og þvermál 26 km.

(a) Hver er eðlismassi þessarar nifteindastjörnu?

(b) Hvernig er eðlismassi þessarar nifteindastjörnu í samanburði við eðlismassa úrankjarna, sem hefur þvermál um 15 fm (1 fm = 10^–15 m)?

Lausn

Við getum litið á bæði nifteindastjörnuna og U-235 kjarnann sem kúlur. Þá er eðlismassi beggja gefinn með:

d = \frac{m}{V} with V = \frac{4}{3} π r^{3}

(a) Radíus nifteindastjörnunnar er ${\frac{1}{2}\, \times \, \text{26 km}=\, \frac{1}{2}\, \times \, 2,6\, \times \, {{10}}^{4}\, \text{m}=1,3\, \times \, {{10}}^{4}\, \text{m},}$ þannig að eðlismassi nifteindastjörnunnar er:

d = \frac{m}{V} = \frac{m}{\frac{4}{3} π r^{3}} = \frac{2,4 (1,99 \times 10^{30} kg)}{\frac{4}{3} π {(1,3 \times 10^{4} m)}^{3}} = 5,2 \times 10^{17} {kg/m}^{3}

(b) Radíus U-235 kjarnans er ${\frac{1}{2}\, \times 15\, \times \, {{10}}^{{−15}}\, \text{m}=7,5\, \times \, {{10}}^{{−15}}\, \text{m},}$ þannig að eðlismassi U-235 kjarnans er:

d = \frac{m}{V} = \frac{m}{\frac{4}{3} π r^{3}} = \frac{235 amu (\frac{1,66 \times 10^{−27} kg}{1 amu})}{\frac{4}{3} π {(7,5 \times 10^{−15} m)}^{3}} = 2,2 \times 10^{17} {kg/m}^{3}

Þessi gildi eru nokkuð svipuð (af sömu stærðargráðu), en nifteindastjarnan er meira en tvöfalt þéttari en U-235 kjarninn.

Kannaðu þekkingu þína

Finndu eðlismassa nifteindastjörnu með massa 1,97 sólmassa og þvermál 13 km og berðu hann saman við eðlismassa vetniskjarna, sem hefur þvermál 1,75 fm (1 fm = 1 $\times$ 10^–15 m).

Til að halda jákvætt hlöðnum róteindum saman í mjög litlu rúmmáli kjarna þarf mjög sterka aðdráttarkrafta því jákvætt hlaðnar róteindir hrinda hver annarri frá sér af miklum krafti í svo stuttri fjarlægð. Aðdráttarkrafturinn sem heldur kjarnanum saman er sterki kjarnakrafturinn (e. strong nuclear force). (Sterki krafturinn er einn af fjórum grunnkröftum sem vitað er að séu til. Hinir eru rafsegulkrafturinn, þyngdarkrafturinn og veiki kjarnakrafturinn.) Þessi kraftur verkar á milli róteinda, á milli nifteinda og á milli róteinda og nifteinda. Hann er mjög ólíkur rafstöðukraftinum sem heldur neikvætt hlöðnum rafeindum í kringum jákvætt hlaðinn kjarna (aðdrátturinn milli gagnstæðra hleðslna). Í fjarlægðum sem eru minni en 10⁻¹⁵ metrar og innan kjarnans er sterki kjarnakrafturinn mun sterkari en rafstöðufráhrindingin milli róteinda; í meiri fjarlægð og utan kjarnans er hann nánast ótilstaðar.

Kjarnabindiorka

Sem einfalt dæmi um orkuna sem tengist sterka kjarnakraftinum skulum við skoða helínfrumeind sem samanstendur af tveimur róteindum, tveimur nifteindum og tveimur rafeindum. Heildarmassa þessara sex öreinda má reikna sem:

\begin{matrix} (2 \times 1,0073 amu) + & (2 \times 1,0087 amu) + & (2 \times 0,00055 amu) = & 4,0331 amu \\ protons & neutrons & electrons \end{matrix}

Hins vegar sýna massarófsmælingar að massi $_{2}^{4}\text{He}$ frumeindar er 4,0026 amu, sem er minna en samanlagður massi sex öreindanna sem hún er gerð úr. Þessi munur á reiknuðum og tilraunamældum massa er þekktur sem massagalli (e. mass defect) frumeindarinnar. Í tilviki helíns gefur massagallinn til kynna „tap“ á massa upp á 4,0331 amu – 4,0026 amu = 0,0305 amu. Massatapið sem fylgir myndun frumeindar úr róteindum, nifteindum og rafeindum stafar af umbreytingu þess massa í orku sem losnar þegar frumeindin myndast. Kjarnabindiorka (e. nuclear binding energy) er orkan sem myndast þegar kjarnaeindir frumeindarinnar bindast saman; þetta er einnig orkan sem þarf til að kljúfa kjarna í róteindir og nifteindir sem hann er gerður úr. Í samanburði við bindiorku efnatengja eru kjarnabindiorkur gríðarlega miklu meiri, eins og við munum læra í þessum kafla. Þar af leiðandi eru orkubreytingarnar sem tengjast kjarnahvörfum gríðarlega miklu meiri en þær sem eiga sér stað í efnahvörfum.

Umbreytingin milli massa og orku er best sýnd með jafngildisjöfnu massa og orku (e. mass-energy equivalence equation) eins og Albert Einstein setti hana fram:

E = m c^{2}

þar sem E er orka, m er massi efnisins sem er að umbreytast og c er ljóshraði í tómarúmi. Þessa jöfnu má nota til að finna orkumagnið sem verður til þegar efni umbreytist í orku. Með því að nota þessa jafngildisjöfnu massa og orku má reikna kjarnabindiorku kjarna út frá massagalla hans, eins og sýnt er í Dæmi 21.2. Ýmsar einingar eru almennt notaðar fyrir kjarnabindiorku, þar á meðal rafeindavolt (eV) (e. electron volts (ev)), þar sem 1 eV jafngildir því orkumagni sem þarf til að færa hleðslu rafeindar yfir rafspennumun upp á 1 volt, sem gerir 1 eV = 1,602 $\times$ 10^–19 J.

Dæmi 21.2

Útreikningur á kjarnabindiorku

Ákvarðaðu bindiorkuna fyrir kjarnategundina $_{2}^{4}\text{He}$ í:

(a) júlum á mól kjarna

(b) júlum á kjarna

Lausn

Massagalli $_{2}^{4}\text{He}$ kjarna er 0,0305 amu, eins og sýnt var áður. Ákvarðaðu bindiorkuna í júlum á kjarnategund með því að nota jafngildisjöfnu massa og orku. Til að koma til móts við umbeðnar orkueiningar verður að gefa massagallann upp í kílógrömmum (munum að 1 J = 1 kg m²/s²).

(a) Fyrst skaltu gefa massagallann upp í g/mól. Það er auðvelt að gera það með hliðsjón af tölulegu jafngildi atómmassa (amu) og mólmassa (g/mól) sem leiðir af skilgreiningum á einingunum amu og mól (vísað er til fyrri umfjöllunar í kaflanum um frumeindir, sameindir og jónir ef þörf krefur). Massagallinn er því 0,0305 g/mól. Til að koma til móts við einingar hinna liðanna í massa-orku jöfnunni verður að gefa massann upp í kg, þar sem 1 J = 1 kg m²/s². Umreikningur gramma í kílógrömm gefur massagalla upp á 3,05 $\times$ 10^–5 kg/mól. Með því að setja þetta magn inn í jafngildisjöfnu massa og orku fæst:

\begin{array}{l} E = m c^{2} = \frac{3,05 \times 10^{−5} kg}{mol} \times {(\frac{2,998 \times 10^{8} m}{s})}^{2} = 2,74 \times 10^{12} kg m^{2} s^{−2} {mol}^{−1} \\ = 2,74 \times 10^{12} J {mol}^{−1} = {2,74 TJ mol}^{−1} \end{array}

Athugið að þetta gríðarlega orkumagn tengist umbreytingu á mjög litlu magni af efni (um 30 mg, sem er nokkurn veginn massi dæmigerðs vatnsdropa).

(b) Bindiorka fyrir einn kjarna er reiknuð út frá mólbindiorkunni með því að nota tölu Avogadros:

E = 2,74 \times 10^{12} J {mol}^{−1} \times \frac{1 mol}{6,022 \times 10^{23} nuclei} = 4,55 \times 10^{−12} J = 4,55 pJ

E = 4,55 \times 10^{−12} J \times \frac{1 eV}{1,602 \times 10^{−19} J} = 2,84 \times 10^{7} eV = 28,4 MeV

Kannaðu þekkingu þína

Hver er bindiorkan fyrir kjarnategundina $_{{\, 9}}^{19}\text{F}$ (atómmassi: 18,9984 amu) í MeV á kjarna?

Þar sem orkubreytingar við rof og myndun tengja eru svo litlar í samanburði við orkubreytingar við rof eða myndun kjarna eru massabreytingar við öll venjuleg efnahvörf nánast ómælanlegar. Eins og lýst er í kaflanum um varmaefnafræði sýna orkumestu efnahvörfin entalpíur á stærðargráðunni þúsundir kJ/mól, sem jafngildir massamun á nanógramma bili (10^–9 g). Á hinn bóginn eru bindiorkur kjarna yfirleitt á stærðargráðunni milljarðar kJ/mól, sem samsvarar massamun á milligramma bili (10^–3 g).

Stöðugleiki kjarna

Kjarni er stöðugur ef ekki er hægt að breyta honum í aðra uppsetningu án þess að bæta við orku utan frá. Af þeim þúsundum kjarnategunda sem til eru, eru um 250 stöðugar. Línurit yfir fjölda nifteinda á móti fjölda róteinda fyrir stöðuga kjarna sýnir að stöðugar samsætur falla innan þröngs bands. Þetta svæði er þekkt sem stöðugleikabeltið (e. band of stability) (einnig kallað stöðugleikasvæði eða stöðugleikadalur). Beina línan á Mynd 21.2 táknar kjarna sem hafa hlutfallið 1:1 milli róteinda og nifteinda (n:p hlutfall). Athugið að léttari stöðugir kjarnar hafa almennt jafnmargar róteindir og nifteindir. Til dæmis hefur nitur-14 sjö róteindir og sjö nifteindir. Þyngri stöðugir kjarnar hafa hins vegar sífellt fleiri nifteindir en róteindir. Til dæmis: járn-56 hefur 30 nifteindir og 26 róteindir, sem gefur n:p hlutfallið 1,15, en stöðuga kjarnategundin blý-207 hefur 125 nifteindir og 82 róteindir, sem gefur n:p hlutfallið 1,52. Þetta er vegna þess að stærri kjarnar hafa meiri fráhrindikrafta milli róteinda og þurfa fleiri nifteindir til að veita uppbót með sterkum kjarnakröftum til að yfirstíga þessa rafstöðufráhrindingu og halda kjarnanum saman.

Mynd 21.2 Þetta línurit sýnir þær kjarnategundir sem vitað er að séu til og þær sem eru stöðugar. Stöðugu kjarnategundirnar eru merktar með bláu og óstöðugu kjarnategundirnar með grænu. Athugið að allar samsætur frumefna með sætistölu hærri en 83 eru óstöðugar. Heilbrota línan er línan þar sem n = Z.

Kjarnar sem eru vinstra eða hægra megin við stöðugleikabeltið eru óstöðugir og sýna geislavirkni (e. radioactivity). Þeir breytast sjálfkrafa (hrörna) í aðra kjarna sem eru annaðhvort í, eða nær, stöðugleikabeltinu. Þessi kjarnahrörnunarbreyting breytir einni óstöðugri samsætu (eða geislasamsætu (e. radioisotope)) í aðra, stöðugri samsætu. Við munum fjalla um eðli og afurðir þessarar geislavirku hrörnunar í síðari köflum þessa kafla.

Nokkrar athuganir má gera varðandi sambandið milli stöðugleika kjarna og byggingar hans. Kjarnar með sléttum tölum róteinda, nifteinda eða beggja eru líklegri til að vera stöðugir (sjá Tafla 21.1). Kjarnar með ákveðnum fjölda kjarneinda, þekktum sem töfratölur (e. magic numbers), eru stöðugir gegn kjarnahrörnun. Þessar tölur róteinda eða nifteinda (2, 8, 20, 28, 50, 82 og 126) mynda fullskipuð hvolf í kjarnanum. Þetta er svipað í hugmynd og stöðugu rafeindahvolfin sem sjást hjá eðallofttegundum. Kjarnar sem hafa töfratölur bæði róteinda og nifteinda, svo sem ${_{2}^{4}\text{He},}$ ${_{{\, 8}}^{16}\text{O},}$ ${_{20}^{40}\text{Ca},}$ og ${_{{\, 82}}^{208}\text{Pb},}$ eru kallaðir „tvítöfrandi“ og eru sérstaklega stöðugir. Þessar tilhneigingar í stöðugleika kjarna má rökstyðja með því að skoða skammtafræðilegt líkan af orkuástöndum kjarna, hliðstætt því sem notað var til að lýsa rafeindaástöndum fyrr í þessari kennslubók. Smáatriði þessa líkans eru utan gildissviðs þessa kafla.

Tafla 21.1
Stöðugar kjarnasamsætur
Fjöldi stöðugra samsæta	Fjöldi róteinda	Fjöldi nifteinda
157	slétt tala	slétt tala
53	slétt tala	oddatala
50	oddatala	slétt tala
5	oddatala	oddatala

Hlutfallslegur stöðugleiki kjarna er í samhengi við bindiorku hans á kjarneind (e. binding energy per nucleon), heildarbindiorku kjarnans deilt með fjölda kjarneinda í kjarnanum. Til dæmis sáum við í Dæmi 21.2 að bindiorka fyrir $_{2}^{4}\text{He}$ kjarna er 28,4 MeV. Bindiorkan á kjarneind fyrir $_{2}^{4}\text{He}$ kjarna er því:

\frac{28,4 MeV}{4 nucleons} = 7,10 MeV/nucleon

Í Dæmi 21.3 lærum við hvernig á að reikna út bindiorku á kjarneind fyrir kjarnategund á ferlinum sem sýndur er á Mynd 21.3.

Mynd 21.3 Bindiorkan á kjarneind er mest fyrir kjarnategundir með massatölu um það bil 56.

Dæmi 21.3

Útreikningur á bindiorku á kjarneind

Járnkjarnategundin $_{26}^{56}\text{Fe}$ liggur nálægt toppi bindiorkuferilsins (Mynd 21.3) og er ein af stöðugustu kjarnategundunum. Hver er bindiorkan á kjarneind (í MeV) fyrir kjarnategundina $_{{26}}^{56}\text{Fe}$ (atómmassi 55,9349 amu)?

Lausn

Eins og í Dæmi 21.2 ákveðum við fyrst massagalla núklíðsins, sem er mismunurinn á massa 26 róteinda, 30 nifteinda og 26 rafeinda, og mældum massa $_{{26}}^{56}\text{Fe}$ frumeindar:

\begin{array}{l} massi defect = [(26 \times 1,0073 amu) + (30 \times 1,0087 amu) + (26 \times 0,00055 amu)] - 55,9349 amu \\ = 56,4651 amu - 55,9349 amu \\ = 0,5302 amu \end{array}

Næst reiknum við bindiorku fyrir einn kjarna út frá massagallanum með því að nota jöfnu massajafngildis:

\begin{array}{l} E = m c^{2} = 0,5302 amu \times \frac{1,6605 \times 10^{−27} kg}{1 amu} \times {(2,998 \times 10^{8} m/s)}^{2} \\ = 7,913 \times 10^{−11} kg ⋅ {m/s}^{2} \\ = 7,913 \times 10^{−11} J \end{array}

Síðan breytum við bindiorkunni í júlum á kjarna yfir í eininguna MeV á núklíð:

7,913 \times 10^{−11} J \times \frac{1 MeV}{1,602 \times 10^{−13} J} = 493,9 MeV

Að lokum ákveðum við bindiorku á kjarnaeind með því að deila heildarbindiorku kjarnans með fjölda kjarnaeinda í frumeindinni:

Binding energy per nucleon = \frac{493,9 MeV}{56} = 8,820 MeV/nucleon

Takið eftir að þetta er næstum 25% meira en bindiorka á kjarnaeind fyrir ${_{{2}}^{4}\text{He}.}$

(Takið einnig eftir að þetta er sama ferli og í Dæmi 21.1, en með því viðbótarskrefi að deila heildarbindiorku kjarnans með fjölda kjarnaeinda.)

Kannaðu þekkingu þína

Hver er bindiorka á kjarnaeind í $_{{\, 9}}^{19}\text{F}$ (atómmassi, 18,9984 amu)?

Námsmarkmið